湖南省长沙市周南中学高三数学第一次月考试题湘教版 理(1).doc

长沙市周南中学2015届高三第一次月考试卷数 学（理）考试范围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲)立体几何.时量：120分钟 总分：150分 一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1集合若,则（）a b cd（第4题图）2命题“”的否定是（）a b c d3已知分别是定义在r上的偶函数和奇函数，且( )a3 b1 c1 d34一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ) a b c d5同时具有性质：“最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数是（）a bc d6已知命题:是成立的充分不必要条件；命题:若不等式对恒成立，则，在命题 中，真命题是（）a b c d 7若，则（ ）a b c d8不等式0对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）a b c d9已知函数是r上的可导函数，且的图象是连续不断的，当时，有，则函数的零点个数是（）a0 b1 c2 d310在平面上，,.若，则的取值范围是（ ）a b c d二填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。（第12题图）11已知且，则 . 12如图，两块阴影部分的面积和为_ 13若关于的不等式 的解集为，则 . 14.已知正实数满足，则的最小值为 . 15在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为，（i=1，2，3n），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0都转换成10，定义这种数字的转换为变换，在多次的加密过程中，满足，k=1，2，3，（1）若a2：10010110，则a0为_ ；（2）若a0为10，记中连续两项都是l的数对个数为，k=l，2，3，则 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）在中，三内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且（）求角的大小；（）求的取值范围17（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，平面，（）求证：平面平面；（）求二面角的大小18.（本小题满分12分）已知正数数列的前项和满足：.（i）求数列的通项公式；（ii）设，求数列的前项和. 19（本小题满分13分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线安装排水管，在路南侧沿直线安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域abcd内沿直线ef将与接通已知ab = 60m，bc = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的ef部分的排管费用为每米2万元，设ef与ab所成角为矩形区域内的排管费用为w（i）求w关于的函数关系式；（ii）求w的最小值及相应的角20（本小题满分13分）已知为正整数，（i）证明：当时，；（ii）对于，已知，求证：.21. （本小题满分13分）设函数.（i）讨论函数的单调性；（ii）若有两个极值点；记过点的直线斜率为.问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.长沙市周南中学2015届高三第一次月考参考答案1abcac acdbd 11; 12; 13; 14. ;15 解：（1）由变换t的定义可知，若：10010110，则为 10；（2）因为1转换成01，0转换成10，所以10转换成0110；故考虑中10数对的个数，设中10数对的个数为，而中11数对只能由中10数对变换得到，所以，故考虑中数对10的个数，而中10数对可能由中0得到，也可由中的11得到，根据变换t的定义以及，可得中0和1的个数总相等，且有个，故， 又由a0：10变换得到：0110，：10010110，所以，当k为奇数时（k3，kn*），叠加得= ，k=1时也成立，同理，当k为偶数数时（k4 ，kn*）， ，k=2时也成立，综上，可得 ，kn*故答案为：(1)10、(2)，kn*(第一空2分)三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）在中，三内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且（）求角的大小；（）求的取值范围解（）由余弦定理可得：，即，由得 （）由得， ， ， ， 的取值范围为abcefdo17（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，平面，（）求证：平面平面；（）求二面角的大小17解()证明：取be的中点o，ae的中点f，连oc，of，df，则2ofba ab平面bce，cd平面bce，2cd ba，ofcd，ocfd bc=ce，ocbe，又ab平面bce.oc平面abe. fd平面abe.从而平面ade平面abe. ()二面角aebd与二面角febd相等，由()知二面角febd的平面角为fod。bc=ce=2, bce=1200，ocbe得bo=oe=，oc=1，ofdc为正方形，fod=，abcefdoxyz二面角aebd的大小为 解法2：取be的中点o，连oc.bc=ce, ocbe，又ab平面bce. 以o为原点建立如图空间直角坐标系oxyz，则由已知条件有: ，设平面ade的法向量为，则由及可取 又ab平面bce，aboc，oc平面abe，平面abe的法向量可取为.=0, ，平面ade平面abe. 6分（）设平面bde的法向量为，则由及可取 平面abe的法向量可取为 锐二面角aebd的余弦值为=， 二面角aebd的大小为 18.（本小题满分12分）已知正数数列的前项和满足：. （i）求数列的通项公式；（ii）设，求数列的前项和. 18.解：(i)当时， ，所以,;又, 两式相减得：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列故数列的通项公式为6分（ii）)由(1)可得,记数列的前项和为,则记故数列的前项和12分19（本小题满分13分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线安装排水管，在路南侧沿直线安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域abcd内沿直线ef将与接通已知ab = 60m，bc = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的ef部分的排管费用为每米2万元，设ef与ab所成角为矩形区域内的排管费用为w（i）求w关于的函数关系式；（ii）求w的最小值及相应的角解：（i）如图，过e作，垂足为m，由题意得，故有， ，所以w=。 6分（ii）设，则令得，即，得列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有答：排管的最小费用为万元，相应的角 13分20（本小题满分13分）已知为正整数，（i）证明：当时，；（ii）对于，已知，求证：.20（）解法1：证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立6分解法2：导数法（略）（）证：当时，由（）得， 8分于是，11分13分21. （本小题满分13分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点；记过点的直线斜率为.问：是否存在，使得？若存在，求出的值