高数微积分中值定理.ppt

1 微分中值定理与导数的应用 第3章 2 第一节中值定理 一 罗尔 Rolle 定理 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 三 柯西 Cauchy 中值定理 3 1 函数极值的定义 4 定义 5 注 1 极值的概念是局部性的 2 有的极大值可能比极小值还小 3 取得极值处 曲线的切线是水平的 即极值点处导数为零 但是注意导数为零处 即有水平切线处 不一定取得极值 例如图中的点处 6 2 费马 fermat 引理 且 存在 证 设 则 证毕 存在 7 3 驻点 导数等于零的点 注 1 极值点要么是驻点 要么是不可导点 2 驻点不一定是极值点 费马引理的几何意义 8 一 罗尔 Rolle 定理 9 几何解释 例如 10 证 11 注意 定理条件不全具备 结论不一定成立 例如 12 例 证 1 2 验证定理的假设条件满足 验证结论正确 验证罗尔定理的正确性 13 13 例 试证方程 分析 注意到 14 14 证 设 且 罗尔定理 即 试证方程 15 例 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根 矛盾 16 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 17 几何解释 证 分析 弦AB方程为 18 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 19 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理 20 推论 证 在I上任取两点 氏中值公式 得 由的任意性知 在I上为常数 21 例 证 自证 经验 欲证 时 只需证在I上 22 例 证明不等式 证 设 中值定理条件 即 因为 故 因此应有 或 23 三 柯西 Cauchy 中值定理 24 几何解释 分析 要证 25 证 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知 至少存在一点 思考 柯西定理的下述证法对吗 两个 不一定相同 错 上面两式相比即得结论 26 柯西定理的几何意义 注意 弦的斜率 切线斜率 27 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例 28 例 证 分析 结论可变形为 29 罗尔定理 拉格朗日中值定理 罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 柯西 Cauchy 中值定理之间的关系 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件 换句话说 满足条件 不满足条件 定理可能成立 不是必要条件 而 成立 不成立 定理 也可能 30 应用三个中值定理常解决下列问题 1 验证定理的正确性 2 证明方程根的存在性 3 引入辅助函数证明等式 4 证明不等式 5 综合运用中值定理 几次运用 关键逆向思维 找辅助函数 原函数 31 例 分析 将结论交叉相乘得 辅助函数F x 试证明 32 或将结论交叉相乘得 换成 辅助函数F x 33 证 设辅助函数 因此F x 满足Rolle定理的条件 34 即 得 证毕 35 练习 分析 即证 要证 证明 对任意的实数k 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 36 证 即 证明 对任意的实数k 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 由Rolle定理 37 试证必存在 设函数f x 在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 证 因为f x 在 0 3 上连续 且在 0 2 上必有最大值M和最小值m 于是 故 由介值定理知 至少存在一点 使 所以f x 在 0 2 上连续 且f x 在 c 3 上连续 在 c 3 内可导 所以由Rolle定理知 必存在 以下4题目较难 38 试证 存在 设函数f x g x 在 a b 上连续 在 a b 内 证 设f x g x 在 a b 内最大值M分别在 取得 由零点定理 至少介于 使得 具有二阶导数且存在相等的最大值 令 则 使得 再由罗尔定理 存在 使得 即 39 1 证明拉格朗日中值定理 若函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则存在 2 证明 证 1 取 由题意知F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 40 由Rolle定理 即 41 2 证明 证 2 对于任意的 函数f x 在 0 t 上 由右导数定义及拉格朗日中 上连续 在 0 t 内可导 值定理 所以 42 例 试证至少存在一点 使 证 法1用柯西中值定理 则f x g x 在 1 e 上满足柯西中值定理条件 令 因此 即 分析 43 例 试证至少存在一点 使 法2令 则f x 在 1 e 上满足罗尔中值定理条件 使 因此存在 44 内容小结 1 微分中值定理的条件 结论及关系