平面的基本性质与推论讲课.ppt

平面的基本性质 第一课时 象这些桌面 平静的湖面 镜面 黑板面等都给我们以 的印象 平面的概念 光滑的桌面 平静的湖面等都是我们很熟悉 平面的特征 平面没有大小 厚薄和宽窄 平面在空间是无限延伸的 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果 平面 复习与回顾 A D C B 平面 平面ABCD 平面的表示方法 几何画法 通常用平行四边形来表示平面 符号表示 通常用希腊字母等来表示 如 平面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示 如 平面AC 平面AC 1 水平放置的平面 2 垂直放置的平面 一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图 平面的画法 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面内 点A在平面外 直线l在平面外 直线l在平面内 用数学符号来表示点 线 面之间的位置关系 一 点和直线的基本性质 1 连接两点的线中 线段最短 2 过两点有且只有一条直线 平面的基本性质 如果把桌面看作一个平面 把你的直尺看作是一条直线的话 你觉得在什么情况下 才能使你的直尺所代表的直线上所有的点都能在桌面上 思考 新知 公理1 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内 你能得到什么结论 二 平面的基本性质 即直线在平面内或平面经过直线 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理1 二 平面的基本性质 一是可以用来判定一条直线是否在平面内 即要判定直线在平面内 只需确定直线上两个点在平面内即可 二是可以用来判定点在平面内 即如果直线在平面内 点在直线上 则点在平面内 三是表明平面是 平的 公理1的作用有三 思考 一条直线经过平面内一点与平面外一点 它和这个平面有几个公共点 为什么 解 这条直线和这个平面只有一个公共点 假设这条直线和这个平面有两个公共点 根据公理1可得 这条直线上所有的点都在这个平面内 这条直线过平面外的一点也在这个平面内 故 与已知矛盾 所以这条直线与这个平面只有一个公共点 用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置 至少需要几个手指头 动手实验 观察下列问题 你能得到什么结论 这些手指需要满足什么条件 公理2 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 观察下列问题 你能得到什么结论 即 不共线的三点确定一个平面 说明图形是存在的 说明图形是唯一的 有 只有一个 至少有一个 至多有一个 有且只有一个的含义 返回 文字语言 图形语言 符号语言 公理2 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 或记为平面ABC 公理2是确定平面的依据 思考 为什么用两个合页和一把锁就可以固定一扇门 有的自行车旁只安装一只撑脚呢 因为不共线的三点可以确定一个平面 答 练习 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线 观察下列问题 你能得到什么结论 天花板 墙面 墙面 文字语言 图形语言 符号语言 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线 一是判定两个平面相交 即如果两个平面有一个公共点 那么这两个平面相交 二是判定点在直线上 即点若是某两个平面的公共点 那么这点就在这两个平面的交线上 公理3的作用有二 公理的推论 推论1经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 已知 点A a 求证 过点A和直线a可以确定一个平面 说明 因为A a 在a上任取两点B C 所以过不共线的三点A B C确定一个平面 公理3 A B C a 且 a BC a 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 图形语言 符号语言 a b 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 三平面的共面与异面直线 一 共面空间中几个点或几条线都在同一平面内 二 异面直线 既不相交也不平行的直线 思考 与一平面交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线的位置关系怎样 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 空间两条直线的位置关系 相交 平行 异面 证明 则直线AB和l是异面直线 反证法 假设直线AB和l不是异面直线 则直线AB和l共面 则这个平面为 这与已知点A在平面外矛盾 所以直线AB和l是异面直线 异面直线的判定方法 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 异面直线 1 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 异面直线的判定方法 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 共面