【绿色通道】高考数学总复习 23函数的奇偶数课件 新人教A版.ppt

1 奇偶函数的定义 1 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 2 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做 如果函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有 f x f x 奇函数 奇偶性 2 具有奇偶性的函数的图象特点一般地 奇函数的图象关于对称 反过来 如果一个函数的图象关于对称 那么这个函数是奇函数 偶函数的图象关于对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是 原点 原点 y轴 偶函数 3 函数奇偶性的判定方法 1 根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于对称 若不对称 则函数是函数 若对称 再判定f x f x 或f x f x 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x 或判定 f x 0 原点 非奇非偶 f x 0 1 2 性质法判定 在定义域的公共部分内 两奇函数之积 商 为偶函数 两偶函数之积 商 也为偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注意取商时分母不为零 偶函数在区间 a b 上递增 减 则在区间 b a 上 奇函数在区间 a b 与 b a 上的增减性 递减 增 相同 4 奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性 偶函数在对称的两个区间上有的单调性 相同 相反 1 对任意实数x 下列函数为奇函数的是 a y 2x 3b y 3x2c y ln5xd y x cosx解析 a为非奇非偶函数 b d为偶函数 c为奇函数 设y f x ln5x xln5 f x xln5 f x 答案 c 2 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 答案 b 3 已知函数y f x 为奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 解析 f x 为奇函数且f 3 f 2 1 f 2 f 3 f 3 f 2 1 答案 1 4 下面四个命题 偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数 又是偶函数的函数一定是f x 0 x r 其中正确的命题序号为 解析 当y f x 在x 0处无定义时 都不正确 偶函数的图象关于y轴对称 正确 既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f x 0 x a a 其中a可为任一确定的正实数 错误 答案 5 设函数f x x 1 x a 为偶函数 求实数a的值 解 f x x 1 x a f x x 1 x a 又 f x 为偶函数 f x f x x 1 x a x 1 x a x2 a 1 x a x2 a 1 x a a 1 a 1 a 1 3 函数的定义域为r 若x为无理数 则 x也是无理数 f x f x 0 若x为有理数 则 x也是有理数 f x f x 1 综上可知 对任意实数x都有f x f x f x 为偶函数 判断函数的奇偶性 首先应考察定义域是否关于原点对称 再研究f x 与f x 的关系 例2 已知函数f x 对一切x y r 都有f x y f x f y 1 试判断f x 的奇偶性 2 若f 3 a 用a表示f 12 思路分析 1 判断f x 的奇偶性 即找f x 与f x 之间的关系 令y x 有f 0 f x f x 再想法求f 0 即可 2 寻找f 12 与f 3 之间的关系 注意用 1 问的结论 解 1 显然f x 的定义域是r 关于原点对称 又 函数f x 对一切x y r都有f x y f x f y 令x y 0 得f 0 2f 0 f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 f 3 a且f x 为奇函数 f 3 f 3 a 又 f x y f x f y x y r f 12 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 2f 3 3 4f 3 4a 变式迁移2函数f x x r 若对于任意实数x1 x2都有f x1 x2 f x1 x2 2f x1 f x2 试判断函数y f x 的奇偶性 解 对于任意实数x1 x2都有f x1 x2 f x1 x2 2f x1 f x2 令x1 0 x2 x 得f x f x 2f 0 f x 令x1 x x2 0 得f x f x 2f 0 f x 由 得 f x f x y f x 为偶函数 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以4为周期的周期函数 判断函数的周期只需证明f x t f x t 0 便可证明函数是周期函数 且周期为t 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 变式迁移3 2009 山东高考 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 解析 f x 4 f x f x f x 4 f x 8 f x 8 知函数f x 的周期为t 8 又f x f x 4 f x 2 f x 2 f 2 x 知函数f x 关于直线x 2对称 函数f x 大体图象为 x1 x2 12 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 8 答案 8 例4 已知函数y f x 的定义域为r 且对任意a b r 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0恒成立 f 3 3 1 证明 函数y f x 是r上的减函数 2 证明 函数y f x 是奇函数 3 试求函数y f x 在 m n m n z 上的值域 1 证明 设任意x1 x2 r 且x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 f x1 故f x 是r上的减函数 2 证明 f a b f a f b 恒成立 可令a b x 则有f x f x f 0 又令a b 0 则有f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而任意的x r f x f x 0 f x f x 故y f x 是奇函数 3 解 由于y f x 是r上的单调递减函数 y f x 在 m n 上也是减函数 故f x 在 m n 上的最大值f x max f m 最小值f x min f n 由于f n f 1 n 1 f 1 f n 1 nf 1 同理f m mf 1 又f 3 3f 1 3 f 1 1 f m m f n n 因此函数y f x 在 m n 上的值域为 n m 解决抽象函数的单调性 奇偶性等问题时 若条件中含有某一范围内某一式子都成立的语句时 常采用赋值法 但赋值要恰当 解 对任意的x