【6年高考4年模拟】高考数学 第四章 三角函数及三角恒等变换 第二节 三角函数的图像和性质及三角恒等变换精品试题.doc

1 数学精品数学精品 2013 2013 版版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第四章第四章 三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换 第二节第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换三角函数的图象和性质及三角恒等变换 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20122012 年高考题年高考题 20122012 年高考真题理科数学年高考真题理科数学 解析分类汇编解析分类汇编 5 5 三角函数三角函数 一 选择题 1 2012 高考重庆理 5 设是方程的两个根 则的tan tan 2 320 xx tan 值为 a 3 b 1 c 1 d 3 答案 a 解析 因为是方程的两个根 所以 tan tan 2 320 xx 3tantan 所以 选 a 2tantan 3 21 3 tantan1 tantan tan 2 2012 高考浙江理 4 把函数 y cos2x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵 坐标不变 然后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图像是 答案 a 解析 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得 y1 cosx 1 向左平移 1 个单位长度得 y2 cos x 1 1 再向下平移 1 个单位长度 得 y3 cos x 1 令x 0 得 y3 0 x 1 2 得 y3 0 观察即得答案 3 2012 高考新课标理 9 已知 函数在上单调递减 则0 sin 4 f xx 2 的取值范围是 2 a 1 5 2 4 b 1 3 2 4 c 1 0 2 d 0 2 答案 a 解析 法 1 函数的导数为 要使函数 4 sin xxf 4 cos xxf 在上单调递减 则有恒成立 4 sin xxf 2 0 4 cos xxf 则 即 所以 kxk2 2 3 4 2 2 kxk2 4 5 2 4 当时 又 所以zk k x k 2 4 2 4 0 k 4 5 4 x x 2 有 解得 即 选 a 4 5 244 5 2 1 4 5 2 1 法 2 选a 59 2 444 x 不合题意 排除 d 35 1 444 x 合题意 排除 b c 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 4 2012 高考四川理 4 如图 正方形的边长为 延长至 使 连接abcd1bae1ae 则 ecedsinced a b 3 10 10 10 10 c d 5 10 5 15 答案 b 解析 2ebeaab 22 4 15ecebbc 3 424 edcedaadc 由正弦定理得 sin15 sin55 ceddc edcce 所以 55310 sinsinsin 55410 cededc gg 点评 注意恒等式 sin2 cos2 1 的使用 需要用 的的范围决定其正余弦值的正负情况 5 2012 高考陕西理 9 在中 角所对边长分别为 若 abc a b c a b c 222 2abc 3 则的最小值为 cosc a b c d 3 2 2 2 1 2 1 2 答案 c 解析 由余弦定理知 2 1 4 2 42 2 1 2 cos 22 2222 222 ab ab ab ba ab baba ab cba c 故选 6 2012 高考山东理 7 若 则 4 2 3 7 sin2 8 sin a b c d 3 5 4 5 7 4 3 4 答案 d 解析 法 1 因为 所以 所以 2 4 2 2 02cos 又 所以 8 1 2sin12cos 2 8 1 sin212cos 2 16 9 sin 2 选 d 4 3 sin 法 2 由 4 2 及 3 7 sin2 8 可得 4 3 4 7 16 7769 16 7616 8 73 12sin1cossin 而当 4 2 时 cossin 结合选项即可得 4 7 cos 4 3 sin 答案应选 d 7 2012 高考辽宁理 7 已知 0 则 sincos2 tan a 1 b c d 1 2 2 2 2 答案答案 a 解析一解析一 sincos2 2sin 2 sin 1 44 故选 a 3 0 tan1 4 解析二解析二 2 sincos2 sincos 2 sin21 4 故选 a 33 0 2 0 2 2 tan1 24 点评点评 本题主要考查三角函数中的和差公式 倍角公式 三角函数的性质以及转化思想和 运算求解能力 难度适中 8 2012 高考江西理 4 若 tan 4 则 sin2 1 tan a b c d 1 5 1 4 1 3 1 2 答案 d 命题立意 本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式 解析 由得 即 4 tan 1 tan 4 cossin cossin sin cos cos sin 22 4 2sin 2 1 1 所以 选 d 2 1 2sin 点评 本题需求解正弦值 显然必须切化弦 因此需利用公式 sin tan cos 转化 另外 22 sincos 在转化过程中常与 1 互相代换 从而达到化简的目的 关于正弦 余弦的 齐次分式 常将正弦 余弦转化为正切 即弦化切 达到求解正切值的目的 体现考纲中要 求理解三角函数的基本关系式 二倍角公式 来年需要注意二倍角公式的正用 逆用等 9 2012 高考湖南理 6 函数 f x sinx cos x 的值域为 6 a 2 2 b c 1 1 d 33 3 2 3 2 答案 b 解析 f x sinx cos x 6 31 sincossin3sin 226 xxxx 值域为 sin 1 1 6 x f x 33 点评 利用三角恒等变换把化成的形式 利用 f xsin ax sin 1 1x 求得的值域 f x 10 2012 高考上海理 16 在中 若 则的形状是abc cba 222 sinsinsin abc a 锐角三角形 b 直角三角形 c 钝角三角形 d 不能确定 答案 c 解析 根据正弦定理可知由 可知 在三角形中cba 222 sinsinsin 222 cba 5 所以为钝角 三角形为钝角三角形 选 c 0 2 cos 222 ab cba cc 点评点评 本题主要考查正弦定理及其推理 余弦定理的运用 主要抓住所给式子的结构来选 择定理 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理 如果出现角度的余弦值就选择余弦定理 本 题属于中档题 11 2012 高考天津理 2 设 r 则 0 是 cos rxxxf 为偶函数 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分与不必要条件 答案 a 命题意图 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定 解析 函数若为偶函数 则有 所以 是 cos xxfzkk 0 为偶函数 的充分不必要条件 选 a cos xxf 12 2012 高考天津理 6 在abc 中 内角 a b c 所对的边分别是cba 已知 8b 5c c 2b 则 cosc a 25 7 b 25 7 c 25 7 d 25 24 答案 a 命题意图 本试题主要考查了正弦定理 三角函数中的二倍角公式 考查学生分析 转化 与计算等能力 解析 因为 所以 根据正弦定理有 bc2 bbbccossin2 2sin sin b b c c sinsin 所以 所以 又 5 8 sin sin b c b c 5 4 5 8 2 1 sin2 sin cos b c b 所以 选 a 1cos2 2cos cos 2 bbc 25 7 1 25 16 21cos2cos 2 bc 13 2012 高考全国卷理 7 已知 为第二象限角 则 cos2 3 3 cossin a b c d 5 3 5 9 5 9 5 3 答案 a 命题意图 本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用 首先利 用平方法得到二倍角的正弦值 然后然后利用二倍角的余弦公式 将所求的转化为单角的正 弦值和余弦值的问题 6 解析 因为所以两边平方得 所以 3 3 cossin 3 1 cossin21 因为已知 为第二象限角 所以 0 3 2 cossin2 0cos 0sin 所以 3 15 3 5 3 2 1cossin21cossin 选 a sin cossin cossincos2cos 22 3 5 3 3 3 15 二 填空题 14 2012 高考湖南理 15 函数 f x sin 的导函数的部分图像如图x yfx 4 所示 其中 p 为图像与 y 轴的交点 a c 为图像与 x 轴的两个交点 b 为图像的最低点 1 若 点 p 的坐标为 0 则 6 3 3 2 2 若在曲线段与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 abc 内的概率为 a abc 答案 1 3 2 4 解析 1 当 点 p 的坐标为 0 时 yfx cos x 6 3 3 2 3 3 cos 3 62 2 由图知 设的横坐标分别为 2 22 t ac 1 22 abc sac a a b a b 设曲线段与 x 轴所围成的区域的面积为则 a abcs 7 由几何概型知该点在 abc 内 sin sin 2 b b a a sfx dxf xab 的概率为 2 24 abc s p s a 点评 本题考查三角函数的图像与性质 几何概型等 1 利用点 p 在图像上求 2 几何概型 求出三角形面积及曲边形面积 代入公式即得 15 2012 高考湖北理 11 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若 abc abcab 则角c 答案 3 2 考点分析 考点分析 考察余弦定理的运用 解析解析 222 222 a a ab12 cos 2223 abcb abc cc abab 由 b c a b c ab 得到 根据余弦定理故 16 2012 高考北京理 11 在 abc 中 若 2 b c 7 cosb 则 b a 4 1 答案 4 解析 在 abc 中 利用余弦定理 c bcbc ac bca b 4 4 4 1 2 cos 222 化简得 与题目条件联立 可解得 c bc 4 74 0478 bc7 cb 2 4 3 a b c 17 2012 高考安徽理 15 设的内角所对的边为 则下列命题正确的abc a b c a b c 是 若 则 若 则 2 abc 3 c 2abc 3 c 若 则 若 则 333 abc 2 c 2ab cab 2 c 若 则 22222 2ab ca b 3 c 答案 命题立意 本题解三角形的知识 主要涉及余弦定理与基本不等式的运算 解析 正确的是 222 2 21 cos 2223 abcabab abccc abab 222222 4 1 2cos 2823 abcabab abccc abab 8 当时 与矛盾 2 c 22232233 cabca cb cab 333 abc 取满足得 2 1abc 2ab cab 2 c 取满足得 2 1abc 22222 2ab ca b 3 c 18 2012 高考福建理 13 已知 abc 得三边长成公比为的等比数列 则其最大角的余2 弦值为 答案 4 2 命题立意 本题考查了解三角形和等比数列的相关知识 难度适中 解析 设最小边长为 则另两边为 aaa 2 2 所以最大角余弦 4 2 22 42 cos 222 aa aaa 19 2012 高考重庆理 13 设的内角的对边分别为 且 abc a b c a b c 5 3 cos a 则 13 5 cos b3 bc 答案 5 14 解析 因为 所以 5 3 cos a 13 5 cos b 5 4 sin a 13 12 sin b 根据正弦定理得 解得 65 56 5 3 13 12 13 5 5 4 sin sin bac c c b b sinsin 65 56 13 12 3c 5 14 c 20 2012 高考上海理 4 若是直线 的一个法向量 则 的倾斜角的大小 1 2 nll 为 结果用反三角函数值表示 答案 2arctan 解析 设倾斜角为 由题意可知 直线的一个方向向量为 1 2 则 2tan 2arctan 点评点评 本题主要考查直线的方向向量 直线的倾斜角与斜率的关系 反三角函数的表示 直线的倾斜角的取值情况一定要注意 属于低档题 难度较小 21 2012 高考全国卷理 14 当函数取得最大值时 x 9 答案 6 5 x 命题意图 本试题主要考查了三角函数性质的运用 求解值域的问题 首先化为单一三角 函数 然后利用定义域求解角的范围 从而结合三角函数图像得到最值点 解析 函数为 当时 3 sin 2cos3sin xxxy 20 x 由三角函数图象可知 当 即时取得最大值 所以 3 5 33 x 23 x 6 5 x 6 5 x 22 2012 高考江苏 11 5 5 分 分 设为锐角 若 则的值为 4 cos 65 12 2sin a 答案答案 17 2 50 考点考点 同角三角函数 倍角三角函数 和角三角函数 解析解析 为锐角 即 0 2 2 66263 4 cos 65 3 sin 65 3 424 sin 22sincos 2 3665 525 a a 7 cos 2 325 sin 2 sin 2 sin 2coscos 2sin 12343434 aaaa 2427217 2 25225250 aa 三 解答题 23 2012 高考新课标理 17 本小题满分 12 分 已知分别为三个内角的对边 a b cabc a b ccos3 sin0acacbc 1 求 2 若 的面积为 求 a2a abc 3 b c 答案 1 由正弦定理得 cos3 sin0sincos3sinsinsinsinacacbcacacbc 10 sincos3sinsinsin sin 1 3sincos1sin 30 2 303060 acacacc aaa aa 2 1 sin34 2 sbcabc 222 2cos4abcbcabc 24 2012 高考湖北理 17 本小题满分 12 分 已知向量 cossin sin xxx a cossin 2 3cos xxx b 设函数 f x a b x r的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 1 2 求函数 f x的最小正周期 若 yf x 的图象经过点 0 4 求函数 f x在区间 3 0 5 上的取值范围 答案 因为 22 sincos2 3sincosf xxxxx cos23sin2xx 2sin 2 6 x 由直线 x 是 yf x 图象的一条对称轴 可得 sin 2 1 6 所以 2 62 kk z 即 1 23 k k z 又 1 1 2 k z 所以1k 故 5 6 所以 f x的最小正周期是 6 5 由 yf x 的图象过点 0 4 得 0 4 f 即 5 2sin 2sin2 6264 即2 故 5 2sin 2 36 f xx 由 3 0 5 x 有 5 5 6366 x 所以 15 sin 1 236 x 得 5 122sin 222 36 x 故函数 f x在 3 0 5 上的取值范围为 12 22 25 2012 高考安徽理 16 本小题满分 12 分 设函数 2 2 cos 2 sin 24 f xxx i 求函数的最小正周期 f x 11 ii 设函数对任意 有 且当时 g xxr 2 g xg x 0 2 x 求函数在上的解析式 1 2 g xf x g x 0 答案 本题考查两角和与差的三角函数公式 二倍角公式 三角函数的周期等性质 分段 函数解析式等基础知识 考查分类讨论思想和运算求解能力 解析 2 2111 cos 2 sincos2sin2 1 cos2 24222 f xxxxxx 11 sin2 22 x i 函数的最小正周期 f x 2 2 t 2 当时 0 2 x 11 sin2 22 g xf xx 当时 0 2 x 0 22 x 11 sin2 sin2 2222 g xg xxx 当时 2 x 0 2 x 11 sin2 sin2 22 g xg xxx 得函数在上的解析式为 g x 0 1 sin2 0 22 1 sin2 22 xx g x xx 26 2012 高考四川理 18 本小题满分 12 分 函数在一个周期内的图象如图所示 为图 2 6cos3cos3 0 2 x f xx a 象的最高点 为图象与轴的交点 且为正三角形 bcxabc 求的值及函数的值域 f x 若 且 求的值 0 8 3 5 f x 0 10 2 33 x 0 1 f x 答案 本题主要考查三角函数的图像与性质 同角三角函数的关系 两角和差公式 倍角 公式等基础知识 考查基本运算能力 以及数形结合思想 化归与转化思想 解析 由已知可得 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 3cos x 3 sin 32sin3 xx 又由于正三角形 abc 的高为 23 则 bc 4 所以 函数 4 8 2 824 得 即的周期txf 所以 函数 32 32 的值域为xf 6 分 12 因为 由 5 38 0 xf 有 5 38 34 sin32 0 0 x xf 5 4 34 sin 0 x 即 由 x0 2 2 34 x 3 2 3 10 0 得 所以 5 3 5 4 1 34 cos 20 x 即 故 1 0 xf 344 sin32 0 x 4 34 sin 32 0 x 2 2 5 3 2 2 5 4 32 4 sin 34 cos 4 cos 34 sin32 00 xx 5 67 12 分 27 2012 高考陕西理 16 本小题满分 12 分 函数 的最大值为 3 其图像相邻两条对称轴之间 sin 1 6 f xax 0 0a 的距离为 2 1 求函数的解析式 f x 2 设 则 求的值 0 2 2 2 f 解析 函数 f x的最大值是 3 13a 即2a 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2 最小正周期t 2 故函数 f x的解析式为 2sin 2 1 6 f xx 2 f 2sin 12 6 即 1 sin 62 0 2 663 66 故 3 28 2012 高考广东理 16 本小题满分 12 分 已知函数 其中 0 x r 的最小正周期为 10 6 cos 2 xxf 1 求 的值 2 设 求 cos 的值 2 0 5 6 3 5 5 f 17 16 6 5 5 f 答案 本题考查三角函数求值 三角恒等变换 利用诱导公式化简三角函数式与两角和的 13 余弦公式求值 难度较低 解析 1 21 10 5 t 2 56334 5 cos sin cos 352555 f 516815 5 cos sin 6171717 f 4831513 cos coscossinsin 51751785 29 2012 高考山东理 17 本小题满分 12 分 已知向量 函数的最大值 sin 1 3 cos cos2 0 3 a mxnaxx a f xm n 为 6 求 a 将函数的图象向左平移个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 yf x 12 来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 求在上的值域 1 2 yg x g x 5 0 24 解 解 f xm n 3 sin coscos2 2 31 sin2cos2 22 sin 2 a axxx axx ax 因为 0a 由题意知 6a 由 i 6sin 2 f xx 将 yf x 的图象向左平移 个单位后得到 6sin 2 6sin 2 yxx 的图象 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的1 2 倍 纵坐标不变 得到 6sin 4 yx 的图象 因此 6sin 4 g xx 因为 5 0 x 所以 7 4 x 所以 14 1 sin 4 1 2 x 所以 g x在 5 0 上的值域为 3 6 30 2012 高考北京理 15 本小题共 13 分 已知函数 x xxx xf sin 2sin cos sin 1 求的定义域及最小正周期 xf 2 求的单调递减区间 xf 解 1 sin0 xxkkz 得 函数 f x的定义域为 x xkkz sincos sin2 sincos 2cos sin xxx f xxxx x sin2 1 cos2 2sin 2 1 4 xxx 得 xf的最小正周期为 2 2 t 2 函数sinyx 的单调递增区间为 2 2 22 kkkz 则 3 222 24288 kxkkxk 得 xf的单调递增区间为 3 88 kkkkkz 31 2012 高考重庆理 18 本小题满分 13 分 小问 8 分 小问 5 分 设 其中 2cos sin 6 cos 4 xxxxxf 0 求函数 的值域 xfy 若在区间上为增函数 求 的最大值 xfy 2 2 3 x 解 1 31 4cossinsincos2 22 f xxxxx 222 2 3sincos2sincossinxxxxx 3sin21x 因1sin21x 所以函数 yf x 的值域为13 13 2 因sinyx 在每个闭区间 2 2 22 kkkz 上为增函数 故 15 3sin21f xx 0 在每个闭区间 44 kk kz 上为增函数 依题意知 3 22 44 kk 对某个kz 成立 此时必有0k 于是 3 24 24 解得 1 6 故 的最大值为 1 6 32 2012 高考浙江理 18 本小题满分 14 分 在abc中 内角a b c的对边分别为 a b c 已知 cosa sinb cosc 2 3 5 求 tanc的值 若a 求abc的面积 2 答案 本题主要考查三角恒等变换 正弦定理 余弦定理及三角形面积求法等知识点 cosa 0 sina 2 3 2 5 1cos 3 a 又cosc sinb sin a c sinacosc sinccosa5 cosc sinc 5 3 2 3 整理得 tanc 5 由图辅助三角形知 sinc 5 6 又由正弦定理知 sinsin ac ac 故 1 3c 对角a运用余弦定理 cosa 2 222 2 23 bca bc 解 1 2 得 or b 舍去 3b 3 3 abc的面积为 s 5 2 33 2012 高考辽宁理 17 本小题满分 12 分 在中 角a b c的对边分别为a b c 角a b c成等差数列 abc 求的值 cosb 边a b c成等比数列 求的值 sinsinac 16 命题意图 本题主要考查等差数列 等比数列概念 正余弦定理应用 是容易题 解析 1 由已知 1 2 cos 32 b a c a b cbb 6 分 2 解法一 2 bac 由正弦定理得 2 3 sinsin sin 4 acb 解法二 2 bac 22222 1 cos 222 ac bac ac b acac 由此得 22 ac ac ac得 a c 所以 3 a b c 3 sinsin 4 ac 12 分 点评点评 本题主要考查三角形的正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及等差 等比数列 的定义 考查转化思想和运算求解能力 属于容易题 第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系 也可以利用余弦定理得到边之间的关系 再来求最后的结果 34 2012 高考江西理 17 本小题满分 12 分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知 sin sin 444 abccba 1 求证 2 bc 2 若2a 求 abc的面积 解 1 证明 由 sin sin 44 bccba 及正弦定理得 sinsin sinsin sin 44 bccba 即 22222 sin sinsin sin sinsin 22222 bcccbb 整理得 sincoscossin1bcbc 所以sin 1bc 又 3 0 4 b c 所以 2 bc 2 由 1 及 3 4 bc 可得 5 88 bc 又 2 4 aa 所以 sin5sin 2sin 2sin sin8sin8 abac bc aa 所以三角形 abc 的面积 1521 sin2sinsin2sincossin 28888242 bca 点评点评 本题考查解三角形 三角形的面积 三角恒等变换 三角和差公式以及正弦定理的 应用 高考中 三角解答题一般有两种题型 一 解三角形 主要是运用正余弦定理来求解 边长 角度 周长 面积等 二 三角函数的图像与性质 主要是运用和角公式 倍角公式 17 辅助角公式进行三角恒等变换 求解三角函数的最小正周期 单调区间 最值 值域 等 来年需要注意第二种题型的考查 35 2012 高考全国卷理 17 本小题满分 10 分 三角形 abc 的内角 a b c 的对边分别为 a b c 已知 cos a c cosb 1 a 2c 求 c 命题意图 本试题主要考查了解三角形的运用 给出两个公式 一个是边的关系 一个角 的关系 而求解的为角 因此要找到角的关系式为好 解析 由 abcbac 由正弦定理及2ac 可得sin2sinac 所以cos coscos cos cos cos acbacacacac coscossinsincoscossinsin2sinsinacacacacac 故由cos cos1acb 与sin2sinac 可得 2 2sinsin14sin1acc 而c为三角形的内角且2acc 故0 2 c 所以 1 sin 2 c 故 6 c 点评 该试题从整体来看保持了往年的解题风格 依然是通过边角的转换 结合了三角形 的内角和定理的知识 以及正弦定理和余弦定理 求解三角形中的角的问题 试题整体上比 较稳定 思路也比较容易想 先将三角函数关系式化简后 得到 a c角关系 然后结合 2ac 得到两角的二元一次方程组 自然很容易得到角c的值 36 2012 高考天津理 15 本小题满分 13 分 已知函数 1cos2 3 2sin 3 2sin 2 rxxxxxf 求函数 xf的最小正周期 求函数 xf在区间 4 4 上的最大值和最小值 解析 1 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx 2sin2 coscos22sin 2 34 xxx 函数 f x的最小正周期为 2 2 t 2 32 2sin 2 11 2 4444424 xxxf x 当2 428 xx 时 2 max f x 当2 444 xx 时 min 1f x 点评 该试题关键在于将已知的函数表达式化为 sin y ax 的数学模型 再根据此 三角模型的图像与性质进行解题即可 18 37 2012 高考江苏 15 1414 分 分 在中 已知 abc 3abacba bc aa 1 求证 tan3tanba 2 若求 a 的值 5 cos 5 c 答案答案 解 1 即3abacba bc aacos 3cosab acaba bcbaaaa cos 3cosacabcbaa 由正弦定理 得 sinsin acbc ba sincos 3sincosbaabaa 又 即 0 abb sinsin 3 coscos ba ba atan3tanba 2 5 cos0 5 c c tan 1a 4 a 考点考点 平面微量的数量积 三角函数的基本关系式 两角和的正切公式 解三角形 解析解析 1 先将表示成数量积 再根据正弦定理和同角三角函数关系3abacba bc aa 式证明 2 由可求 由三角形三角关系 得到 从而 5 cos 5 c tanc tanab 根据两角和的正切公式和 1 的结论即可求得 a 的值 20112011 年高考题年高考题 一 选择题 1 山东理 6 若函数 sinf xx 0 在区间 0 3 上单调递增 在区间 3 2 上 单调递减 则 a 3 b 2 c 3 2 d 2 3 答案 c 2 山东理 9 函数 2sin 2 x yx 的图象大致是 19 答案 c 3 全国大纲理 5 设函数 cos 0 f xx 将 yf x 的图像向右平移3 个单位长 度后 所得的图像与原图像重合 则 的最小值等于 a 1 3 b 3 c 6 d 9 答案 c 4 湖北理 3 已知函数 3sincos f xxx xr 若 1f x 则 x 的取值范围为 a 3 x kxkkz b 22 3 xkxkkz c 5 66 x kxkkz d 5 22 66 xkxkkz 答案 b 5 全国新课标理 11 设函数 sin cos f xxx 0 2 的最小正 周期为 且 fxf x 则 a yf x 在 0 2 单调递减 b yf x 在 3 44 单调递减 c yf x 在 0 2 单调递增 d yf x 在 3 44 单调递增 答案 a 6 安徽理 9 已知函数 sin 2 f xx 其中 为实数 若 6 f xf 对x r 恒 成立 且 2 ff 则 f x 的单调递增区间是 20 a 36 kkkz b 2 kkkz c 2 63 kkkz d 2 kkkz 答案 c 二 填空题 7 上海理 8 函数 sin cos 26 yxx 的最大值为 答案 23 4 8 辽宁理 16 已知函数 xf atan x 2 0 y xf 的部分图像如下 图 则 24 f 答案 3 三 解答题 9 江苏 9 函数 sin wawxaxf 是常数 0 0 wa 的部分图象如图所示 则 f 0 答案 2 6 10 北京理 15 已知函数 4cos sin 1 6 f xxx 求 f x 的最小正周期 21 求 f x 在区间 6 4 上的最大值和最小值 解 因为 1 6 sin cos4 xxxf 1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 6 2sin 2 x 所以 xf 的最小正周期为 因为 3 2 6 2 6 46 xx所以 于是 当 6 26 2 xx即 时 xf 取得最大值 2 当 6 66 2xfxx时即 取得最小值 1 11 福建理 16 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 s3 13 3 i 求数列 an 的通项公式 ii 若函数 sin 2 0 0 f xaxap 在 6 x 处取得最大值 且最大值 为 a3 求函数 f x 的解析式 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 满分 13 分 解 i 由 3 1 3 1 3 1313 3 31 33 a qs 得 解得 1 1 3 a 22 所以 12 1 33 3 nn n a ii 由 i 可知 2 3 3 3 n n aa 所以 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 a 3 因为当 6 x 时 f x 取得最大值 所以 sin 2 1 6 又 0 6 故 所以函数 f x 的解析式为 3sin 2 6 f xx 12 广东理 16 已知函数 1 2sin 36 f xxxr 1 求 5 4 f 的值 2 设 106 0 3 32 22135 faf 求cos 的值 解 1 515 2sin 4346 f 2sin2 4 2 101 32sin32sin 132326 f 61 32 2sin 32 2sin2cos 5362 f 53 sin cos 135 23 2 2 512 cos1sin1 1313 2 2 34 sin1cos1 55 故 3125456 cos coscossinsin 51313565 13 湖北理 16 设 abc 的内角 a b c 所对的边分别为 a b c 已知 1 1 2 cos 4 abc 求 abc 的周长 求 cos ac 的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 同时考查基本运算能力 满分 10 分 解 222 1 2cos1444 4 cababc 2 c abc 的周长为 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 ccc 15 sin15 4 sin 28 ac a c acac 故 a 为锐角 22 157 cos1sin1 88 aa 71151511 cos coscossinsin 848816 acacac 14 四川理 17 已知函数 73 sin cos 44 f xxxxr 24 1 求 f x 的最小正周期和最小值 2 已知 44 cos cos 0 552 a 求证 2 20f 解析 7733 sin coscos sincos cossin sin 4444 2sin2cos 2sin 4 f xxxxx xx x max 2 2tf x 2 4 cos coscossinsin 1 5 4 cos coscossinsin 2 5 coscos0 0cos0 22 2 2 20ff 15 天津理 15 已知函数 tan 2 4 f xx 求 f x 的定义域与最小正周期 ii 设 0 4 若 2cos2 2 f 求 的大小 本小题主要考查两角和的正弦 余弦 正切公式 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦 余弦公式 正切函数的性质等基础知识 考查基本运算能力 满分 13 分 i 解 由 2 42 xkkz 得 82 k xkz 所以 f x 的定义域为 82 k xr xkz 25 f x 的最小正周期为 2 ii 解 由 2cos2 2 a fa 得 tan 2cos2 4 aa 22 sin 4 2 cossin cos 4 a aa a 整理得 sincos 2 cossin cossin cossin aa aaaa aa 因为 0 4 a 所以sin cos0 aa 因此 2 11 cossin sin2 22 aaa 即 由 0 4 a 得 2 0 2 a 所以 2 612 aa 即 16 重庆理 16 设a r 2 cossincoscos 2 f xx axxx 满足 0 3 ff 求函数 f x 在 11 424 上的最大值和最小值 解 22 sin coscossinf xaxxxx sin2cos2 2 a xx 由 31 0 1 2 3 3222 a ffa 得解得 因此 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 26 当 2 4 363 2 xxf x 时 为增函数 当 113 2 324624 xxf x 时 为减函数 所以 11 2 443 f xf 在上的最大值为 又因为 11 3 2 424 ff 故 11 424 f x 在 上的最小值为 11 2 24 f 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数 sin 2 6 yx 的图像 a 向左平移 4 个长度单位 b 向右平移 4 个长度单位 c 向左平移 2 个长度单位 d 向右平移 2 个长度单位 答案 b 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将 sin 2 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin 2 3 yx 的图像 故选 b 2 2 20102010 陕西文 陕西文 3 函数f x 2sinxcosx是 a 最小正周期为 2 的奇函数 b 最小正周期为 2 的偶函数 c 最小正周期为 的奇函数 d 最小正周期为 的偶函数 答案 c 解析 本题考查三角函数的性质 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 27 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 6 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后与 原图像重合 则 的最小值是 a 2 3 b 4 3 c 3 2 d 3 答案 c 解析 选 c 由已知 周期 243 32 t 4 4 20102010 辽宁理 辽宁理 5 设 0 函数 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图 像重合 则 的最小值是 a 2 3 b 4 3 c 3 2 d 3 答案 c 命题立意 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性 考查了同学们对知 识灵活掌握的程度 解析 将 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin 2 33 yx 4 sin 2 33 x 所以有 4 3 2k 即 3 2 k 又因为0 所以 k 1 故 3 2 k 3 2 所以选 c 5 2010 重庆文 6 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 a sin 2 2 yx b cos 2 2 yx c sin 2 yx d cos 2 yx 答案 a 解析 c d 中函数周期为 2 所以错误 当 4 2 x 时 3 2 22 x 函数sin 2 2 yx 为减函数 而函数cos 2 2 yx 为增函数 所以选 a 28 6 6 20102010 重庆理 重庆理 6 已知函数 sin 0 2 yx 的部分图 象如题 6 图所示 则 a 1 6 b 1 6 c 2 6 d 2 6 解析 2 t 由五点作图法知 23 2 6 7 7 20102010 山东文 山东文 10 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理可得 若定义在r上的函数 f x 满足 fxf x 记 g x 为 f x 的导函数 则 gx a f x b f x c g x d g x 答案 d 8 8 20102010 四川理 四川理 6 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 a sin 2 10 yx b sin 2 5 yx c 1 sin 210 yx d 1 sin 220 yx 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 c 9 9 20102010 天津文 天津文 8 29 5 yasinxxr 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了得到这个函 数的图象 只要将ysinxxr 的图象上所有的点 a 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短 到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 b 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍 纵坐标不变 c 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 d 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 a 解析 本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识 属于中等题 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 6 0 可得 的一个值为 3 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 3 即 y sin2 x 6 所以只需将 y sinx x r 的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度 再把所得各点 的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 温馨提示 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 1 10 10 20102010 福建文 福建文 30 11 11 20102010 四川文 四川文 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 a sin 2 10 yx b y sin 2 5 x c y 1 sin 210 x d 1 sin 220 yx 答案 c 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得 图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 12 12 20102010 湖北文 湖北文 2 函数 f x 3sin 24 x xr 的最小正周期为 a 2 b xc 2 d 4 答案 d 解析 由 t 2 1 2 4 故 d 正确 13 13 20102010 福建理 福建理 1 cos13 计算si n43cos43 si n13的值等于 a 1 2 b 3 3 c 2 2 d 3 2 答案 a 解析 原式 1 sin 43 13 sin30 2 故选 a 命题意图 本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数 考查基础 知识 属保分题 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 浙江理 浙江理 11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 解析 2 4 2sin 2 2 xxf故最小正周期为 本题主要考察了三角恒等变换及 31 相关公式 属中档题 2 2 20102010 浙江文 浙江文 12 函数 2 sin 2 4 f xx 的最小正周期是 答案 2 3 3 20102010 福建文 福建文 16 16 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cos a 1280 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 答案 962 解析 因为 1 22 3 82 5 322 7 1282 所以 9 2512m 观察可得400n 50p 所以 m n p 962 命题意图 本小题考查三角变换 类比推理等基础知识 考查同学们的推理能力等 4 4 20102010 山东理 山东理 5 5 20102010 福建理 福建理 14 已知函数f x 3sin x 0 6 和g x 2cos 2x 1 的图象的 对称轴完全相同 若x 0 2 则f x 的取值范围是 32 答案 3 3 2 解析 由题意知 2 因为x 0 2 所以 5 2x 666 由三角函数图象知 f x 的最小值为 3 3sin 62 最大值为3sin 3 2 所以f x 的取值范围是 3 3 2 6 6 20102010 江苏卷 江苏卷 10 定义在区间 2 0 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交 点为 p 过点 p 作 pp1 x 轴于点 p1 直线 pp1与 y sinx 的图像交于点 p2 则线段 p1p2的长为 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 p1p2的长即为 sinx 的值 且