【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.5 函数的奇偶性、周期性课件.ppt

第二章 函数 2 5函数的奇偶性 周期性 一 奇 偶 函数的定义及图象特征1 若f x 的定义域 且f x f x 或f x f x 则函数f x 叫做 或 2 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 反之亦然 二 奇 偶 函数的性质1 若f x 为奇函数 且在x 0处有定义 则f 0 关于原点对称 偶函数 奇函数 原点 y轴 0 2 若f x 为偶函数 则f x 反之亦然 3 在定义域的公共部分 两奇函数的积 或商 为 函数 两偶函数的积 或商 为 函数 一奇一偶函数的积 或商 为 函数 两奇函数 或两偶函数 的和 差为11 函数 或12 函数 三 函数的周期性 f x 偶 偶 奇 奇 奇 1 如果存在一个非零常数t 使得对于y f x 定义域内的每一个x值13 都有成立 那么y f x 叫做周期函数 t叫做y f x 的一个周期 nt n z 均是该函数的周期 我们把周期中的14 叫做函数的最小正周期 2 若函数y f x 满足f x a f x 其中a 0 则f x 的最小正周期为15 f x t f x 最小正数 2a 盘点指南 关于原点对称 偶函数 奇函数 原点 y轴 0 f x 偶 偶 奇 11奇 12偶 13f x t f x 14最小正数 152a 1 若是奇函数 则a 解法1 f x f x 故a 解法2 f 1 f 1 0 a 2 若函数f x 2sin 3x x 2 5 3 为偶函数 其中 0 则 的值是 解 函数f x 2sin 3x x 2 5 3 为偶函数 其中 0 2 5 3 0 k k z 3 函数f x 对于任意实数x满足条件f x 2 若f 1 5 则f f 5 解 由f x 2 得f x 4 f x 所以f 5 f 1 5 则f f 5 f 5 f 1 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 2 f x 题型1函数奇偶性的判断 第一课时 3 f x 4 f x 5 f x 6 f x 解 1 0 得定义域为 1 1 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 由得x 1 0 0 1 这时 f x 显然 f x f x 所以f x 为奇函数 3 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上 f x f x 所以f x 为偶函数 4 由x2 1 x 1 此时 f x 0 x 1 所以f x 既是奇函数又是偶函数 5 x x x 0f x loga x 的定义域是r 又f x f x loga x loga x 0 所以f x loga x 是奇函数 6 因为x 时 1 sinx cosx 2 x 时 1 sinx cosx 0 所以f x 的定义域不对称 故f x 是非奇非偶函数 点评 利用定义法判断函数的奇偶性的要点是 判断定义域是不是关于原点对称 若不关于原点对称 则函数是非奇非偶函数 比较f x 与f x 是相等还是相反关系 有些函数有时须化简后才可判断 注意还有一类函数既是奇函数 也是偶函数 如第 4 小题中的函数 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x 3 f x x 1 x 1 4 f x 解 1 函数的定义域为 1 1 且f x f x 0 所以f x f x 所以f x 为奇函数 2 函数f x 的定义域为 0 0 f x 所以f x 为偶函数 3 因为f x 的定义域为r 且f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x x 1 x 1 是奇函数 4 f x 的定义域为 1 关于原点不对称 所以f x 是非奇非偶函数 2 已知f x ax3 bsinx 2 ab 0 若f 5 5 则f 5 解 由f x ax3 bsinx 2 得f x 2 ax3 bsinx为奇函数 又f 5 2 3 所以f 5 2 3 即得f 5 1 点评 定义域为r的非奇非偶函数f x 可以表示为一个奇函数g x 和一个偶函数h x 的和 在已知f a g a h a 的情况下 则f a g a h a 可得出f a 2h a f a 题型2利用函数的奇偶性求函数值 已知函数y f x 1为奇函数 且f x 的最大值为m 最小值为n 则有 a m n 4b m n 2c m n 2d m n 4解 由条件知 函数y f x 1的最大值为m 1 最小值为n 1 且m 1 n 1 0 所以m n 2 故选c 3 已知定义域为r的函数f x 是奇函数 1 求a b的值 2 若对任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 题型3函数奇偶性质的应用 解 1 因为f x 是奇函数 所以f 0 0 即 所以f x 又由f 1 f 1 知 解得a 2 2 由 1 知f x 易知f x 在 上为减函数 又因为f x 是奇函数 所以f t2 2t f 2t2 k 0等价于f t2 2t f 2t2 k f k 2t2 因为f x 为减函数 由上式推得t2 2t k 2t2 即对一切t r有3t2 2t k 0恒成立 从而判别式 4 12k 0 解得k 所以k的取值范围为 点评 若奇函数在x 0处有定义 则f 0 0 对定义域上任一非零自变量t 都有f t f t 利用这两个性质常用来解决含参奇函数问题 设定义在 2 2 上的偶函数f x 在区间 0 2 上单调递减 若f 1 m f m 求实数m的取值范围 解 因为f x 是偶函数 所以f x f x f x 所以不等式f 1 m f m f 1 m f m 又当x 0 2 时 f x 是减函数 所以解得 1 m 故实数m的取值范围是 1 1 判定函数奇偶性时 应先确定函数的定义域是否关于原点对称 再分析f x 与f x 的关系