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文档简介
7 2状态空间的线性变换 7 2 1线性变换 设给定n阶线性定常系统 所选状态为 两边左乘 实现它们之间转换的线性变换称为等价变换 P是坐标变换矩阵 是状态空间的变换矩阵 注意 线性变换的概念对线性时变系统也适用 7 2 2线性变换的不变性 传递函数阵 特征方程 例 求矩阵A的特征值和特征向量 解 1 2和 3为A的特征根 令 秩为2 有无穷组解 有一个自由变量 令 那么 若令 显然 线性相关 表明特征根对应一个独立特征向量 类似的求 的特征向量 令 类似的求 的特征向量 传递函数阵 结论 通过线性变换后 系统的传递函数阵没有改变 特征方程和特征值 结论 系统的特征方程保持不变 系统的特征值也是不变的 状态选取的不同 不影响的是系统的输入输出关系 系统的特征方程和特征值 改变的是系统矩阵A 输入矩阵B和输出矩阵C 线性变换的目的 7 2 3状态空间表达式的规范化 1 化对角阵标准型 证明 因为 为特征值 对应的特征向量 将上式写成矩阵向量形式有 例 将下列状态方程化为对角阵标准型 并求变换后的状态方程 解 为系统的特征根 变换后的状态方程为 特殊情况 当系统矩阵A为友矩阵形式 那么变换阵P可直接写为 2 化约当阵标准型 借助广义特征向量产生 约当阵标准型 若一个重特征根有两个独立的特征向量 那么会对应两个约当块 例 将下列状态方程化为约当阵标准型 解 为系统的特征根 求 的特征向量 秩为1 说明有两个独立的特征向量 令 2重根有2个特征向量 所以不需要求广义特征向量 求 的特征向量 有重根的情况下 有时也可能出现对角阵 若系统矩阵A的特征根有重根 且当系统矩阵A为友矩阵形式 那么变换阵P可直接写为 特殊情况 7 3线性定常系统状态方程的解 7 3 1线性定常系统齐次方程的解 矩阵也有 为矩阵指数 那么 若初始时刻 7 3 2状态转移矩阵 1 状态转移矩阵的性质 性质1 性质3 性质2 例 已知状态转移矩阵为 求A阵 解 利用性质3 表明状态转移矩阵的可逆性 性质4 表明分时转移和整体时间转移的关系 推论 对一切整数k 性质6 表明线性变换后状态转移矩阵等于对原系统的状态转移矩阵进行线性变换 2 状态转移矩阵的求取 2 拉氏变换法 系统不超过3阶 3 线性变换法 系统阶次较高时 1 直接计算法 无穷级数法 便于计算机编程 例 已知系统矩阵 试用两种方法计算状态转移矩阵 t 7 3 3非齐次状态方程的解 为非齐次状态方程 两边拉氏变换 有 拉氏反变换 得 例 求下列
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