第三章状态方程的解.ppt

第三章线性系统状态方程的解 3 1线性时不变系统齐次状态方程的解3 2状态转移矩阵3 3线性时不变系统非齐次状态方程的解3 4连续系统的时间离散化3 5线性离散系统状态方程的解 控制系统的运动分析是系统性能定量分析的重要内容 两种提法 状态方程求解 数学术语系统的运动分析 物理学概念 运动 是物理学上的一个概念 它是通过求系统方程的时域解来分析研究的 状态方程 矩阵微分方程输出方程 矩阵代数方程求系统方程的解主要是求状态方程的解 3 1线性时不变系统齐次状态方程的解 1 若A为标量有 初始时刻 则 系统在没有控制输入的情况下 由系统的初始状态引起的自由运动 2 若A为方阵 证明 设方程的解为 代入 得 比较t的同次幂可得 当时 有 整理得 定义矩阵指数函数 则有 若 则有 例3 1 1已知 求 解 3 2状态转移矩阵 3 2 1状态转移矩阵及其性质 线性定常系统在状态空间中任意时刻t的状态是通过矩阵指数函数由初始状态在 t t0 时间内的转移 状态转移轨线 本质上 它的作用是将t0时刻的系统状态矢量Xt0转移到t时刻的状态矢量Xt 也就是说它起到了系统状态转移的作用 所以称之为状态转移矩阵 并记为 形式上 是一个矩阵指数函数 而且也是一个各元素随时间t变化的n n矩阵 或 齐次状态方程的解 可表示为 或 系统的状态转移矩阵为 1 定义 由于系统没有输入量 系统的运动X t 是由系统初始状态激励的 因此系统的运动称为自由运动 包含了系统自由运动形态的全部信息 完全表征了系统自由运动的动态特性 而自由运动轨线的形态是由决定的 也就是由A阵唯一决定 2 状态转移矩阵性质 1 零变换 2 可导性 3 4 可逆性 5 传递性 6 当且仅当AB BA时 有 状态转移矩阵性质 1 零变换 2 可导性 3 4 可逆性 5 传递性 6 当且仅当AB BA时 有 即有 根据 性质 1 证明 性质 2 证明 即有 根据 性质 3 证明 即有 根据 由性质 1 和性质 3 得 性质 4 证明 等式两边左乘 即有 性质 5 证明 略 性质 6 证明 根据矩阵指数的定义 否则不成立 即 比较上述展开式t的各次幂的系数可知 若矩阵A B可交换 即AB BA 那么 解 根据性质 2 和性质 4 例3 2 1已知某系统的转移矩阵求系统矩阵A 3 2 2几个特殊的状态转移矩阵 则有 1 若为对角矩阵 证 由定义知 则有 则有 3 若A为具有约当块的矩阵 则有 4 若为 证 由定义知 则 3 2 3状态转移矩阵的计算 1 直接法根据矩阵指数的定义直接计算 例3 2 2已知 求 解 根据定义有 优点 步骤简单 适用于计算机求解 缺点 计算结果是一个无穷级数 难以获得解析式 不适合手工计算 等式两边左乘 有 取拉普拉斯反变换 有 2 拉普拉斯变换法 取拉普拉斯变换 例3 2 3试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆 解 状态转移矩阵由下式确定 由于 其逆矩阵为 因此 由于 故可求得状态转移矩阵的逆为 3 化矩阵A为对角形法 那么状态转移矩阵为 若矩阵A的特征值互异时 则存在非奇异变换矩阵P 将矩阵A变换为对角线标准型 即 证 由于 则 解 1 特征值 2 计算特征向量 3 构造变换阵P 则有 4 应用凯莱 哈密顿定理 计算 凯莱 哈密顿定理 矩阵A满足自身的特征方程 即 根据凯莱 哈密顿定理 则有 特征方程 即 例3 2 5用凯莱 哈密顿定理计算 解 由凯 哈定理 所以 则有 其中 为待定系数 若A的特征值互异 即两两互异时 的计算方法为 例3 2 6线性定常系统的齐次状态方程为 用凯 哈定理计算其状态转移矩阵 解 即 状态转移矩阵为 3 3线性时不变系统非齐次状态方程的解 考虑系统 两边积分得 将左乘后求导得 更一般的形式为 系统的动态响应由两部分组成 一部分是由初始状态引起的系统自由运动 叫做零输入响应 另一部分是由控制输入所产生的受控运动 叫做零状态响应 例3 3 1求下列系统的时间响应 式中 u t 为t 0时作用于系统的单位阶跃函数 即u t 1 t 解 状态转移矩阵为 因此 系统对单位阶跃输入的响应为 或 如果初始状态为零 即x 0 0 可将x t 简化为 1 脉冲信号输入 即 时 即 2 阶跃信号输入 即 例3 3 2求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出 解 其中 假定 1 按等采样周期T对被控对象进行采样 2 采样周期为T 满足香农采样定理要求 包含连续信号全部信息 3 具有零阶保持器 3 4连续系统的离散化 3 4 1线性定常系统离散化 考虑系统 其状态方程的解为 则有 令 则线性时不变系统离散状态方程为 令 3 4 2近似离散化 考虑系统 当采样周期很小时 有 其中 连续系统离散化的几点说明 1 近似离散化是一般离散化的特例 2 一般说来 没有精确离散化 3 离散化是有条件的 连续化 是无条件的 4 连续系统的结论可以在离散系统中找到对应 反之则未必 解 近似离散化 离散化 例3 4 1把状态方程 所以近似离散化状态方程为 即 3 5线性离散系统状态方程的解 3 5 1递推法 考虑离散时间系统 则有 定常情形 上式称为线性定常离散系统的状态转移方程 和都是常值矩阵 于是可得 状态转移矩阵的性质 离散系统状态转移方程 或 3 5 2Z变