高考数学专题复习精课件—18等比数列.ppt

等比数列 一 概念与公式 1 定义 2 通项公式 3 前n项和公式 二 等比数列的性质 1 首尾项性质 有穷等比数列中 与首末两项距离相等的两项积相等 即 特别地 若项数为奇数 还等于中间项的平方 即 a1an a2an 1 a3an 2 an a1qn 1 amqn m a1an a2an 1 a3an 2 a中2 特别地 若m n 2p 则aman ap2 2 若p q r s p q r s n 则apaq aras 3 等比中项 如果在两个数a b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 则g叫做a与b的等比中项 5 顺次n项和性质 4 若数列 an 是等比数列 m p n成等差数列 则am ap an成等比数列 7 单调性 8 若数列 an 是等差数列 则 ban 是等比数列 若数列 an 是正项等比数列 则 logban 是等差数列 三 判断 证明方法 1 定义法 2 通项公式法 3 等比中项法 an 是递增数列 an 是递减数列 q 1 an 是常数列 q 0 an 是摆动数列 典型例题 1 设数列 an 的前n项和为sn 若s1 1 s2 3 且sn 1 3sn 2sn 1 0 n 2 试判断 an 是不是等比数列 2 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s3 s6 2s9 求数列的公比q 3 三个数成等比数列 若将第三项减去32 则成等差数列 再将此等差数列的第二项减去4 又成等比数列 求原来的三个数 4 已知数列 an 的各项均为正数 且前n和sn满足 6sn an2 3an 2 若a2 a4 a9成等比数列 求数列的通项公式 a1 1 a2 2 sn 1 sn 2 sn sn 1 an 2n 1 an 是等比数列 设三数为a b c 得b 2 4a c 7a 36 an 1 an 3 a1 1 an 3n 2 1 a1 1 q 2 a1 1 q 3 3 a1q 1 q n 1 2 bn 3qn 1 5 数列 an 中 a1 1 a2 2 数列 an an 1 是公比为q q 0 的等比数列 1 求使anan 1 an 1an 2 an 2an 3 n n 成立的q的取值范围 2 若bn a2n 1 a2n n n 求 bn 的通项公式 n 2 sn n sn 1 sn 整理得nsn 1 2 n 1 sn 又a2 3s1 3a1 3 故s2 a1 a2 4 4a1 因此对于任意正整数n 都有sn 1 4an sn n 2n 1 sn 1 n 1 2n an sn sn 1 n 2n 1 n 1 2n 2 n 1 2n 2 n 2 而a1 1也适合上式 an n 1 2n 2 n n 4an n 1 2n sn 1 即sn 1 4an 1 证 由已知an 1 sn 1 sn 4an 2 4an 1 2 an 1 4an 4an 1 n 2 bn an 1 2an 4an 4an 1 2an 2 an 2an 1 2bn 1 bn 是以3为首项 2为公比的等比数列 又由a1 1 a1 a2 s2 4a1 2得a2 5 b1 a2 2a1 3 bn 3 2n 1 数列 cn 是等差数列 sn 4an 1 2 4 3n 4 2n 3 2 3n 4 2n 1 2 an 2n cn 3n 1 2n 2 an 1 3n 4 2n 3 n 2 而s1 a1 1亦适合上式 sn 3n 4 2n 1 2 n n 1 四个正数 前三个数成等差数列 其和为48 后三个数成等比数列 其最后一个数是25 求此四数 解 由已知可设前三个数为a d a a d d为公差 且a d 0 后三数成等比数列 其最后一个数是25 解得 a 16 d 4 故所求四数分别为12 16 20 25 a d a a d 48 且 a d 2 25a a d 12 a d 20 课后练习题 2 在等比数列 an 中 a1 a6 33 a3a4 32 an 1 an 1 求an 2 若tn lga1 lga2 lgan 求tn 解 1 an 是等比数列 a1a6 a3a4 32 又 a1 a6 33 a1 a6是方程x2 33x 32 0的两实根 an 1 an a6 a1 a1 32 a6 1 32q5 1 an 26 n 2 由已知lgan 6 n lg2 tn lga1 lga2 lgan 6n 1 2 n lg2 6 1 6 2 6 n lg2 1 解 设等比数列 an 的公比为q 依题意得 a1q 6且a1q4 162 解得 a1 2 q 3 数列 an 的通项公式为an 2 3n 1 1 4 设 an 为等比数列 tn na1 n 1 a2 2an 1 an 已知t1 1 t2 4 1 求数列 an 的首项和公比 2 求数列 tn 的通项公式 解 1 设等比数列 an 的公比为q 则 t1 a1 t2 2a1 a2 又t1 1 t2 4 a1 1 2a1 a2 4 a2 2 q 2 数列 an 的首项为1 公比为2 2 解法1由 1 知 a1 1 q 2 an 2n 1 tn n 1 n 1 2 n 2 22 2 2n 2 1 2n 1 2tn n 2 n 1 22 n 2 23 2 2n 1 1 2n tn n 2 22 2n 1 2n 2n 1 n 2 解法2设sn a1 a2 an an 2n 1 sn 2n 1 tn na1 n 1 a2 2an 1 an a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 an s1 s2 sn 2 22 2n n 2n 1 n 2 5 在公差为d d 0 的等差数列 an 和公比为q的等比数列 bn 中 已知a1 b1 1 a2 b2 a8 b3 1 求d q的值 2 是否存在常数a b 使得对于一切正整数n 都有an lgabn b成立 若存在 求出a和b 若不存在 说明理由 解 1 a1 b1 1 a2 b2 a8 b3 d 0 解得d 5 q 6 故d q的值分别为5 6 1 d q且1 7d q2 2 由 1 及已知得an 5n 4 bn 6n 1 假设存在常数a b 使得对于一切正整数n 都有an lgabn b成立 则5n 4 loga6n 1 b对一切正整数n都成立 即5n 4 nloga6 b loga6对一切正整数n都成立 loga6 5 b loga6 4 6 设sn为数列 an 的前n项和 且满足2sn 3 an 1 1 证明数列 an 是等比数列并求sn 2 若bn 4n 5 将数列 an 和 bn 的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列 dn 证明 dn 是等比数列并求其通项公式 证 1 由已知a1 3 当n 2时 an sn sn 1 2an 2 sn sn 1 2sn 2sn 1 3 an an 1 an 3an 1 故数列 an 是首项与公比均为3的等比数列 2 易知d1 a2 b1 9 设dn是 an 中的第k项 又是 bn 中的第m项 即dn 3k 4m 5 ak 1 3k 1 3 4m 5 4 3m 3 3不是数列 bn 中的项 而ak 2 3k 2 9 4m 5 4 9m 10 5是 bn 的第 9m 10 项 dn 1 ak 2 3k 2 dn 是首项与公比均为9的等比数列 故dn 9n an