【走向高考】高三数学一轮复习 33定积分与微积分基本定理课件 （理） 北师大版.ppt

考纲解读1 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 考向预测以选择题 填空题为主考查定积分的几何意义 基本性质和微积分基本定理 知识梳理1 定积分的定义一般地 给定一个在区间 a b 的函数y f x 将 a b 区间分成n份 分点为 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i个小区间为 xi 1 xi 设其长度为 xi 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 上的值最大 设s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 上的值最小 设s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 其中 叫做积分号 a叫作 b叫作 f x 叫作 积分下限 积分上限 被积函数 3 定积分的运算性质 5 利用牛顿 莱布尼兹公式求定积分的关键是 可将基本初等函数的导数公式逆向使用 求被积函数的原函数 6 定积分在几何中的应用 7 定积分在物理中的应用 1 匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即s 2 变力作功公式一物体在变力f x 单位 n 的作用下做直线运动 如果物体沿着与f相同的方向从x a移动到x b a b 单位 m 则力f所作的功为w 基础自测a 2ln2b 2ln2c ln2d ln2 答案 d a b 2c 2d 2 答案 d 解析 本小题主要考查定积分等基础知识 3 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为v甲和v乙 如右图所示 那么对于图中给定的t0和t1 下列判断中一定正确的是 a 在t1时刻 甲车在乙车前面b t1时刻后 甲车在乙车后面c 在t0时刻 两车的位置相同d t0时刻后 乙车在甲车前面 答案 a 解析 考查读图识图能力和曲线的变化率 由图像可知 曲线v甲比v乙在0 t0和0 t1之间与x轴围成面积都大 故在t0 t1时刻 甲车均在乙车前面 答案 b 答案 1 分析 对于 1 2 可首先找出一个原函数 然后利用微积分基本定理求解 3 为分段函数 在 0 3 上的积分可分成几段积分的和的形式 点评 1 求函数f x 的定积分 关键是求出函数f x 的一个原函数f x 即满足f x f x 正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 2 分段函数在区间 a b 上的积分可分成几段积分的和的形式 3 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定 按照原函数分段的情况分即可 无需分得过细 分析 先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分 再利用牛顿 莱布尼兹公式求解 点评 1 求函数f x 在某个区间上的定积分 关键是求出函数f x 的一个原函数 要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 2 求复杂函数定积分要依据定积分的性质 有限个函数代数和的积分 等于各个函数积分的代数和 例2 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积 分析 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差 再运用牛顿 莱布尼兹公式计算 2 曲线所围成的平面区域如图 2 所示 s a1 a2 分析 需根据面积求出切点坐标 这又需要画出函数y x2 x 0 及切线的图形 再根据定积分的几何意义 求函数y x2 x 0 的定积分 从而确定相关图形的面积 即可求出切点坐标 其他问题便可顺利解决 解析 如图所示 设切点a x0 y0 由y 2x 得过点a的切线方程为y y0 2x0 x x0 即y 2x0 x x02 点评 求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤 1 画出图形 2 确定图形范围 通过解方程组求出曲线交点的横坐标 定出积分的上 下限 3 确定被积函数 4 写出平面图形面积的定积分表达式 5 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 分析 从上图可以看出物体在0 t 1时做加速运动 1 t 3时做匀速运动 3 t 6时也做加速运动 但加速度不同 也就是说0 t 6时 v t 为一个分段函数 故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积 点评 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时 将物理问题转化为数学问题是关键 变速直线运动的速度函数往往是分段函数 故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分 然后求出积分的和 即可得到答案 由于函数是分段函数 所以运算过程可能稍微复杂些 因此在运算过程中一定要细心 不要出现计算上的错误 定积分在物理中的应用主要有两个方面 一物体按规律x bt3做直线运动 式中x为时间t内通过的距离 媒质的阻力与速度的平方成正比 试求物体由x 0运动到x a时 阻力做的功 解析 物体的速度v x t bt3 3bt2 媒质阻力f阻 kv2 k 3bt2 2 9kb2t4 其中k为比例常数 k 0 例4 如图所示 已知曲线c1 y x2与曲线c2 y x2 2ax a 1 交于点o a 直线x t 0 t 1 与曲线c1 c2分别相交于点d b 连接od da ab 1 用微积分基本定理求定积分 关键是找到满足f x f x 的函数f x 即找被积函数的原函数 利用求导运算与求原函数运算