【金版教程】高考数学总复习 14.2导数的应用精品课件 文 新人教B版.pptVIP

最新考纲解读1 理解极大值 极小值 最大值 最小值的概念 2 并会用导数求多项式函数的单调区间 极大值 极小值及闭区间上的最大值和最小值 3 会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 高考考查命题趋势导数是中学选修内容中重要的知识 近几年高考对导数的考查每年都有 而且近年有加强的趋势 预测2011年对本模块的考查为 1 还会有一大一小的试题 小题主要考查导数概念及求函数的导数 导数的几何意义 导数的简单应用 大题考查运用导数研究函数的单调性 极值或最值问题 2 仍可能以函数为背景 以导数作工具 在函数 不等式 解析几何等知识网络的交汇点命题 1 函数的单调性 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0时 则函数y f x 为这个区间上的增函数 如果f x 0 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为减区间 3 函数的极值的概念 设函数f x 在点x0附近有定义 且对x0附近的所有点都有f x f x0 则称f x0 为函数的一个极大 小 值 称x0为极大 小 值点 4 函数的最值 1 函数最值的概念 设y f x 是定义在区间 a b 上的函数 y f x 在 a b 内可导 则函数y f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间内不一定有最大值与最小值 2 设y f x 是定义在区间 a b 上的函数且在 a b 内可导 求f x 在 a b 上最值的方法步骤 求函数f x 在 a b 内的极值 求函数f x 在区间端点的函数值f a f b 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 一 选择题1 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 a 1 a 2b 3 a 6c a 3或a 6d a 1或a 2 解析 f x 3x2 2ax a 6 0有两个不等实根 4a2 4 3 a 6 0 a 3或a 6 答案 c 2 若函数f x a x x3 的递减区间为 则a的取值范围是 a a 0b 1 a 0c a 1d 0 a 1 答案 a 3 函数y 4x2 的单调递增区间是 a 0 b 1 c d 1 答案 c 4 函数y x3 3x2 9x 20 当x 1时 y 0 当x 1时 y极大值 5 x取不到3 无极小值 答案 c 5 山东烟台 对于r上的可导任意函数f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 a f 0 f 2 2f 1 解析 若f x 0恒成立 则f x 为常函数 即f x f 2 2f 1 若f x 0不恒成立时 当x 1时 有f x 0 当x 1时 f x 0 f x 在 1 上单调递减 在 1 单调递增 故x 1时 f x 取得极小值 从而f 0 f 2 2f 1 故选c 答案 c 二 填空题6 函数y f x x3 x2 2x 5的单调递增区间是 单调递减区间是 解析 由y 3x2 x 2 3x 2 x 1 得 当x 1 时y 0 当x 1 y 0 单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 答案 及 1 1 例1 2009年河西区一模 已知函数f x x3 ax2 a2x 1 g x 1 4x ax2 其中实数a 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若f x 与g x 在区间 a a 2 内均为增函数 求a的取值范围 1 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 反之不一定成立 因为f x 0相当于f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数 函数不具有单调性 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 2 一般地 若知函数的单调性求参数范围 则得不等式f x 0 解之得参数的范围 若求单调区间 则解不等式f x 0得结论 思考探究1已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 3 证明 f x x3 ax 1的图象不可能总在直线y a的上方 1 解 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 3x2 0 只需a 0 又a 0时 f x 3x2 0 故f x x3 1在r上是增函数 则a 0 2 解 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 上恒成立 1 x 1 3x2 3 只需a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 3 证明 f 1 a 2 a f x 的图象不可能总在直线y a的上方 例2 2009年厦门大同中学 设函数f x x3 2ax2 3a2x 1 0 a 1 1 求函数f x 的极大值 2 若x 1 a 1 a 时 恒有 a f x a成立 其中f x 是函数f x 的导函数 试确定实数a的取值范围 解 1 f x x2 4ax 3a2 且00时 得a3a f x 的单调递增区间为 a 3a f x 的单调递减区间为 a 和 3a 故当x 3a时 f x 有极大值 其极大值为f 3a 1 2 f x x2 4ax 3a2 x 2a 2 a2 当02a f x 在区间 1 a 1 a 内单调递减 f x max f 1 a 8a2 6a 1 1 导数为0的点不一定是极值点 函数的导数不存在的点也可能是极值点 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 在本题第 2 问中 恒有 a f x a成立 的问题 等价转化为求导函数的最大值小于等于a 最小值大于等于a 思考探究2 2009年宁夏海南卷文 已知函数f x x3 3ax2 9a2x a3 1 设a 1 求函数f x 的极值 2 若a 且当x 1 4a 时 f x 12a恒成立 试确定a的取值范围 解 1 当a 1时 对函数f x 求导数 得f x 3x2 6x 9 令f x 0 解得x1 1 x2 3 列表讨论f x f x 的变化情况 所以 f x 的极大值是f 1 6 极小值是f 3 26 例3 2009年河东区一模 设函数f x tx2 2t2x t 1 t r t 0 1 求f x 的最小值s t 2 若s t 0 x t时 f t 取得最小值f t t3 t 1 即s t t3 t 1 2 令h t s t 2t m t3 3t 1 m 由h t 3t2 3 0 得t 1或t 1 舍去 h t 在 0 2 内有最大值1 m s t 1 因此实数m的取值范围是 1 1 求f x 在 a b 上最值的方法步骤 求函数f x 在 a b 内的极值 求函数f x 在区间端点处的函数值f a f b 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 思考探究3 2009年河北区一模 已知函数f x x3 ax2 3x 1 若x 3是f x 的极值点 求f x 在x 1 a 上的最小值和最大值 2 若f x 在x 1 上是增函数 求实数a的取值范围 解 1 f 3 0 即27 6a 3 0 a 4 f x x3 4x2 3x有极大值点x 极小值点x 3 例4一条水渠 断面为等腰梯形 如图所示 在确定断面尺寸时 希望在断面abcd的面积为定值s时 使得四周l ab bc cd最小 这样可使水流阻力小 渗透少 求此时的高h和下底边长b 1 解决有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实际意义 2 根据问题的实际意义来判断函数最值时 如果函数在此区间上只有一个极值点 那么这个极值就是所求最值 不必再与端点值比较 3 相当多的有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 思考探究4在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积是多少 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 解法二 设箱高为xcm 则箱底长为 60 2x cm 则得箱子容积v x 60 2x 2x 0 x 30 后面同解法一 略 总结 由题意可知 当x过小或过大时箱子容积很小 所以最大值出现在极值点处 1 已知函数f x x3 bx2 cx d的图象过点p 0 2 且在点m 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 1 求函数y f x 的解析式 2 求函数y f x 的单调区间 2 设函数f x x3 1 a x2 4ax 24a 其中常数a 1 1 讨论f x 的单调性 2 若当x 0时 f x 0恒成立 求a的取值范围 分析 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及