（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离教师用书 理 苏教版.docVIP

第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离教师用书 理 苏教版1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，0，求法cos cos 2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.3.求二面角的大小(1)如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，.(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).【知识拓展】利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点a(x1，y1，z1)，点b(x2，y2，z2)，则ab|.(2)点到平面的距离如图所示，已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离为|.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0，二面角的范围是0，.()(5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120，则l和所成角为30.()(6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()1.(2016南通模拟)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.答案45或135解析cosm，n，即m，n45.两平面所成的二面角为45或18045135.2.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_.答案30解析设l与所成角为，cosm，n，sin |cosm，n|，090，30.3.(2016泰州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1所成角的余弦值为_.答案解析设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.4.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为_.答案解析以a为原点，以，(aeab)，所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设d为a1b1中点，则a(0,0,0)，c1(1，2)，d(1,0,2)，(1，2)，(1,0,2).c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角，cosc1ad，又c1ad，c1ad.5.p是二面角ab棱上的一点，分别在平面、上引射线pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_.答案90解析不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90.题型一求异面直线所成的角例1(2015课标全国)如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值.(1)证明如图所示，连结bd，设bdacg，连结eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc2，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef，从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，可得eg平面afc.因为eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)解如图，以g为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz，由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f，c(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_.答案90解析连结d1m，在正方形dcc1d1中，m、n分别是cd、cc1的中点，dnd1m，又a1d1平面d1c，dn平面d1c，dna1d1，又a1d1d1md1，dn平面a1d1m，又a1m平面a1d1m，a1mdn.即异面直线a1m与dn所成的角为90.题型二求直线与平面所成的角例2(2016全国丙卷)如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点.(1)证明mn平面pab；(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值.(1)证明由已知得amad2.取bp的中点t，连结at，tn，由n为pc中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab.(2)解取bc的中点e，连结ae.由abac得aebc，从而aead，ae.以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.由题意知，p(0,0,4)，m(0,2,0)，c(，2,0)，n，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面pmn的法向量，则即可取n(0,2,1).于是|cosn，|.设an与平面pmn所成的角为，则sin ，直线an与平面pmn所成角的正弦值为.思维升华利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点o为线段bd的中点设点p在线段cc1上，直线op与平面a1bd所成的角为，则sin 的取值范围是_答案，1解析由正方体的性质易求得sinc1oa1，sincoa1，注意到c1oa1是锐角，coa1是钝角，且.故sin 的取值范围是，1题型三求二面角例3(2016天津)如图，正方形abcd的中心为o，四边形obef为矩形，平面obef平面abcd，点g为ab的中点，abbe2.(1)求证：eg平面adf；(2)求二面角oefc的正弦值；(3)设h为线段af上的点，且ahhf，求直线bh和平面cef所成角的正弦值(1)证明依题意，of平面abcd，如图，以o为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1，1,0)，c(1，1,0)，d(1,1,0)，e(1，1,2)，f(0,0,2)，g(1,0,0)依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x1，y1，z1)为平面adf的法向量，则即不妨取z11，可得n1(0,2,1)，又(0,1，2)，可得n10，又因为直线eg平面adf，所以eg平面adf.(2)解易证(1,1,0)为平面oef的一个法向量，依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x2，y2，z2)为平面cef的法向量，则即不妨取x21，可得n2(1，1,1)因此有cos，n2，于是sin，n2.所以二面角oefc的正弦值为.(3)解由ahhf，得ahaf.因为(1，1,2)，所以，进而有h，从而.因此cos，n2.所以直线bh和平面cef所成角的正弦值为.思维升华利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.如图(1)，正方形abcd的边长为1，m，n分别是边ad，bc上的点，mn与ab平行，且与ac交于点o.若将四边形abcd沿mn折成直二面角amnc(如图(2)，则二面角caob的平面角的正弦值是_图(1)图(2)答案解析由条件得nm，nb，nc两两垂直，分别以nm，nb，nc所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ncm，则nom，从而得o(m,0,0)，c(0,0，m)，a(1,1m,0)设平面aoc的法向量为a(x，y，z)，由(1m,1m,0)，(m,0，m)，得取x1，得a(1，1,1)又平面aob的一个法向量为b(0,0,1)，则cosa，b，故sina，b.题型四求空间距离(供选用)例4如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2，求点a到平面mbc的距离.解如图，取cd的中点o，连结ob，om，因为bcd与mcd均为正三角形，所以obcd，omcd，又平面mcd平面bcd，所以mo平面bcd.以o为坐标原点，直线oc，bo，om分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz.因为bcd与mcd都是边长为2的正三角形，所以obom，则o(0,0,0)，c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)，所以(1，0)，(0，).设平面mbc的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面mbc的一个法向量为n(，1,1).又(0,0,2)，所以所求距离为d.思维升华求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；(2)等体积法；(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.(2016四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd，papd，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，abbc1，o为ad中点.(1)求直线pb与平面poc所成角的余弦值；(2)求b点到平面pcd的距离；(3)线段pd上是否存在一点q，使得二面角qacd的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)在pad中，papd，o为ad中点，poad.又侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，po平面abcd.在pad中，papd，papd，ad2.在直角梯形abcd中，o为ad的中点，abad，ocad.以o为坐标原点，oc为x轴，od为y轴，op为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则p(0,0,1)，a(0，1,0)，b(1，1,0)，c(1,0,0)，d(0,1,0)，(1，1，1).易证oa平面poc，(0，1,0)为平面poc的法向量，cos，pb与平面poc所成角的余弦值为.(2)(1，1，1)，设平面pcd的法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1).则b点到平面pcd的距离d.(3)假设存在，且设(01).(0,1，1)，(0，)，(0，1)，q(0，1).设平面caq的法向量为m(x，y，z)，则取z1，得m(1，1，1).平面cad的一个法向量为n(0,0,1)，二面角qacd的余弦值为，|cosm，n|.整理化简，得321030.解得或3(舍去)，存在，且.6.利用空间向量求解空间角典例(16分)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点.(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值.规范解答(1)证明依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系如图，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2).2分由e为棱pc的中点，得e(1,1,1).(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以bedc.4分(2)解(1,2,0)，(1,0，2).设n(x，y，z)为平面pbd的一个法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1).6分于是有cosn，所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.8分(3)解(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0).由点f在棱pc上，设，01，故(12，22，2).由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即(，).12分设n1(x，y，z)为平面fab的一个法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1).取平面abp的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角fabp是锐角，所以其余弦值为.16分利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.1.(2017苏北四市联考)在长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_.答案解析建立空间直角坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2).所以(1,0,2)，(1,2,1).故cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.2.(2016徐州模拟)二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为_.答案60解析如图所示，二面角的大小就是，.，22222()2222.(2)262428224.因此24，cos，60，故二面角为60.3.在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为_.答案解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，d(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，).设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则有即n1(1,2,2).平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4.(2016盐城模拟)在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac1，pa2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为_.答案解析以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由abac1，pa2，得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d(，0,0)，e(，0)，f(0，1).(0,0，2)，(0，0)，(，1).设平面def的法向量为n(x，y，z)，则由得取z1，则n(2,0,1)，设直线pa与平面def所成的角为，则sin ，直线pa与平面def所成角的正弦值为.5.已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab2，cc12，e为cc1的中点，则直线ac1到平面bde的距离为_.答案1解析以d为原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(0,2，)，易知ac1平面bde.设n(x，y，z)是平面bde的法向量，则取y1，则n(1,1，)为平面bde的一个法向量，又(2,0,0)，点a到平面bde的距离是d1.故直线ac1到平面bde的距离为1.6.如图所示，三棱柱abca1b1c1的侧棱长为3，底面边长a1c1b1c11，且a1c1b190，d点在棱aa1上且ad2da1，p点在棱c1c上，则的最小值为_.答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，则d(1,0,2)，b1(0,1,3)，设p(0,0，z)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)(z)2，故当z时，取得最小值为.7.(2016无锡模拟)在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则直线d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为_.答案解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，则d1(0,0,1)，c1(0,2,1)，a1(1,0,1)，b(1,2,0).(0,2,0)，(1,2,0)，(0,2，1)，设平面a1bc1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，设直线d1c1与平面a1bc1所成角为，则sin |cos，n|，即直线d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为.8.在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则直线cd与平面bdc1所成角的正弦值等于_.答案解析以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2).设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1).设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.9.(2016连云港模拟)已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值为_.答案解析如图，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e(1,1，)，f(0,1，)，(0,1，)，(1,1，)，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abc所成的二面角为，由图知为锐角，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)，取平面abc的法向量为m(0,0，1)，则cos |cosn，m|，tan .10.(2016南京、无锡联考)如图，在三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值.(1)证明如图，取ab的中点o，连结oc，oa1，a1b.cacb，ocab.abaa1，baa160.aa1b为等边三角形，oa1ab.ocoa1o，ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，aba1c.(2)解由(1)知，ocab，oa1ab.平面abc平面aa1b1b，交线为ab，oc平面aa1b1b，oa，oa1，oc两两垂直.以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0).则(1,0，)，(1，0)，(0，).设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1).cosn，.直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.11.(2016扬州模拟)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ab2ad2，e为ab的中点，f为d1e上的一点，d1f2fe.(1)证明：平面dfc平面d1ec；(2)求二面角adfc的大小.(1)证明以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，b(1,2,0)，c(0,2,0)，d1(0,0,2).e为ab的中点，点e的坐标为(1,1,0)，d1f2fe，(1,1，2)(，)，(0,0,2)(，)(，).设n(x1，y1，z1)是平面dfc的法向量，则令x1，则平面dfc的一个法向量为n(1,0，1)，设p(x2，y2，z2)是平面d1ec的法向量，则令y1，则平面d1ec的一个法向量为p(1,1,1)，np(1,0，1)(1,1,1)0，平面dfc平面d1ec.(2)设q(x3，y3，z3)是平面adf的法向量，则令y1，则平面adf的一个法向量为q(0,1，1)，设二面角adfc的平面角为，由题中条件可知(，)，则cos ，二面角adfc的大小为.12.(2016四川)如图，在四棱锥p-abcd中，adbc，adcpab90，bccdad.e为棱ad的中点，异面直线pa与cd所成的角为90.(1)在平面pab内找一点m，使得直线cm平面pbe，并说明理由；(2)若二面角p-cd-a的大小为45，求直线pa与平面pce所成角的正弦值.解(1)在梯形abcd中，ab与cd不平行.延长ab，dc，相交于点m(m平面pab)，点m即为所求的一个点.理由如下：由已知，bced且bced.所以四边形bcde是平行四边形，从而