《随堂优化训练》高中数学 第一章 1.2 1.2.3 测量角度问题 配套课件 新人教A版必修5.ppt

1 2 3 测量角度问题 1 坡角是指斜坡所在平面与 的夹角 2 沿坡角为45 的斜坡直线向上行走80m 实际升高了 m 水平面 3 一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫 然后向右转105 爬行10cm捕捉到另一只小虫 这时它向右转135 爬行回它的出发点 那么x cm 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南60 西 另一灯塔在船的南75 西 则这只船的速度是 每小时 c a 5nmilec 10nmile b 5d 10 nmilenmile 重难点 测量角度问题 题 在实际生活中 要测量角的大小 求三角形中角度的大小 求不能直接测得的角 求轮船航行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理 通过解三角形求解 在解决与测量问义 合理的构造三角形求解 即把实际问题数学化 注意 在运用正弦定理 余弦定理解决几何中的某些问题时 要注意将有关几何关系转化为三角形中边角关系 然后利用它们求出有关的量 船的航向问题 例1 如图1 当甲船位于a处时获悉在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西30 相距10海里c处的乙船 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往b处救援 角度精确到1 图1 解 要求乙船的航向 即求 acb的度数 易知c 90 ab 20 ac 10 cab 120 在 cab中 故乙船应朝北偏东70 方向直线前往b处 解三角形问题中 求某些角的度数时 最好用余弦定理求角 因为余弦函数在 0 上是单调递减的 而正弦函数在 0 上不是一一对应 一个正弦值可以对应两个角 但 1 1 甲船在a处遇险 在甲船西南方向10海里b处的乙船收到甲船的报警后 测得甲船在沿着东偏北105 的方向 以每小时9海里的速度向某岛靠近 如果乙船要在40分钟后追上甲船 问乙船应以什么速度 沿怎样的方向航行 sin21 8 0 37 cos21 8 0 93 图5 解 如图5 易知 dab 45 cad 75 cab 120 设乙船以速度v航行 经过 23 h后追上甲 ab 10 cba 21 8 cbe 66 8 乙船以21海里 时的速度 沿东偏北66 8 的方向航行 ac2 bc2 ab223 解三角形与函数的综合例2 某人在m汽车站的北偏西20 的方向上的a处 观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶 公路的走向是m站的北偏东40 开始时 汽车到a的距离为31千米 汽车前进20千米后 到a的距离缩短了10千米 问汽车还需行驶多远 才 能到达m汽车站 图2 解 由题设 画出示意图2 设汽车前进20千米后到达b处 在 abc中 ac 31 bc 20 ab 21 由余弦定理得cosc 2ac bc31 mb mc bc 15 答 汽车还需要行驶15千米才能到达m汽车站 2 1 如图3 甲船在a处发现乙船在北偏东45 与a的距离为10海里的c处 正以20海里 小时的速度向南偏东75 的 方向航行 已知甲船的速度是20 海里 小时 问 甲船沿什 么方向 用多少时间才能与乙船相遇 图3 解 设t小时后相遇 则bc ab的长分别为20t海里 20海里 由图可知 acb 120 由余弦定理得ab2 ac2 bc2 2ac bc cos acb bac 30 甲船应沿北偏东75 方向航行 答 甲船应沿北偏东75 方向航行半小时后才能与乙船相遇 例3 某观测站c在城a的南偏西20 的方向 由a城出发的一条公路 走向是南偏东40 由c处测得距c为31km的公路上b处 有一人正沿公路向a城走去 走了20km后到达d处 此时cd的间距为21km 问 这个人还走多少千米到达a城 错因剖析 本题在解 acd时 利用余弦定理求ad 会得出两个根 产生了增根 没有对其进行验证 应用正弦定理来求解可避免这种情况 正解 在 acd中 已知cd 21km cad 60 只需再求出一个量即可 如图4 设 acd cdb 在 cbd中 由余弦定理得 图4 21 sin 而sin sin 60 sin cos60 sin60 cos 在 acd中 21sin60 adsin ad sin60 15 km 这个人再走15km就可到达a城 3 1 我艇在a处发现一走私船在方位角45 且距离为12nmile的b处正以10nmile h的速度向方位角为105 的方向逃窜 我艇向其以14nmile h的速度追去 求我艇航向及追上走私船所用时间 解 如图6 设在c处追上走私船需时间th 则在 abc 中 b 120 bc 10t ac 14t 图6 a