数学学科核心素养的认识与培养（毛世槐）.doc

数学学科核心素养及其培养 重庆第二十九中学 毛世槐 摘要：此文由人民教育出版社资深编审、博士、全国中学数学专业委员会常务副理事长，普通高中课程标准实验教科书数学副主编章建跃先生的“数学学习与智慧发展”主题讲座整编而来。关键词：章建跃 核心素养 培养正文：2015年6月29日，在重庆市教育科学院的精心组织下，北京师范大学教育学部培训学院的周密安排下，重庆市新课程改革普通高中数学骨干教师高级培训班开学典礼在北京师范大学京师大厦隆重举行。典礼由北京师范大学教育学部培训学院李霆鸣副院长主持，教育部小学校长培训中心主任、北京师范大学教育学部副部长、培训学院院长、教育管理学院博士生导师毛亚庆教授首先发表了热情洋溢的致辞，欢迎重庆学员到北京师范大学参加学习培训，并通过自己的川渝情结谈了自己对此次培训的期望与要求。随后，重庆市教育科学院副院长、副书记、中学研究员级教师、硕士生导师李常明院长提出四点要求：1.转换角色、及时调整心态；2.将较难的教学问题带到培训中来，向专家讨教，与学员探讨解决；3.加强交流与实践，要学会提出问题；4.学以致用，辐射带动所在区县的数学教育。并重点强调了学员们要高度注意安全问题。我有幸来到这个教师向往神圣的殿堂学习，心情格外高兴，鼓舞人心的讲座徐徐展开。下面我就一个讲座谈谈我的心得。2015年7月2日，是重庆市高中数学骨干教师高级研修班全体学员在北京师范大学参加培训的最后一天。我早早来到京师大厦三楼六会议室，静静等候着，期待、不舍。今天将迎来人民教育出版社资深编审、博士、全国中学数学专业委员会常务副理事长，普通高中课程标准实验教科书数学副主编章建跃先生的“数学学习与智慧发展”主题讲座。章先生结合自己在人教社参加教材主编的发展过程，告诫大家学习（包括数学学习）是一个终身的过程，数学学习体现在以下几方面：一、全面深化课改的新要求国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020）的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段，全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见提出“大力弘扬中华民族优秀传统文化”，要把核心价值观融入国民教育全过程，着力推进关键领域和主要环节改革，制订学生发展核心素养体系和学科核心素养体系，提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象，数据分析；同时贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念。二、教师专业发展的三大基石教师专业发展的三大基石是理解数学、理解学生、理解教学。特别是“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。教师专业发展的标准是：学生为主，师德为先，能力为重，终身学习。三、理解数学知识的意蕴知识的意蕴是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，是知识的精义和主旨所在。数学语言成为表达客观世界的唯一精准语言，是启动维持与深化认识活动的原动力。理解数学的三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然。四、数学思维再认识章先生对数学思维的理解让全体学员大开眼界，他指出数学思维包括一个结构（定义概念、推导性质、建立联系、实践应用）、两个方向（归纳与演绎）、三种语言（符号语言、图形语言、普通文字语言）、四种形式（逻辑推理、代数运算、几何直观、数形结合）。五、关于思维的系统性章教授以复数引入为实例讲解如何在课堂内体现数学思维，在解析几何中如何体现坐标法思想。把认识对象作为系统，以要素与系统、要素与要素的关系入手，研究基本性质，明确研究对象，推广性质培养系统思维研究性质。 下面重点谈谈数学核心素养及培养 一、关于核心素养 1、核心素养是个体在解决复杂的现实问题过程中表现出来的综合性能力。 2、核心素养不是简单的知识或技能。它是以学科知识技能为基础，是整合了情感、态度或价值观在内的，能够满足特定现实需求的综合性表现。 3、核心素养是后天教育的结果。它有别于一个人潜在的能力。 4、核心素养体系总框架的建构 学生发展核心素养指标的主要表现（1）学生发展核心素养指标的主要表现（2） 学生发展核心素养指标的主要表现（3） 二、关于数学学科核心素养 学科核心素养是核心素养在特定学科（或学习领域）的具体化，是学生学习一门学科（或特定学习领域）之后所形成的、具有学科特点的关键成就，是学科育人价值的集中体现。 1、数学核心素养 数学核心素养是数学课程目标的集中表现。它在学生自主发展中发挥不可替代的作用，是在数学学习过程中逐步形成的。数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现。 数学核心素养既反映课程内容的主线，聚焦课程目标要求，也是学业质量标准的集中反映。高中阶段包括: 抽象能力 - 抽象能力与关联 逻辑推理 - 逻辑推理与交流 数学建模 - 建模能力与反思 几何直观 - 几何直观与想象 运算能力 - 运算能力与模式 数据分析 - 数据分析与知识获取 更一般地，还包括学会学习、数学应用、创新意识。 2、抽象能力 抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学的概念、性质、法则、命题等的思维过程。包括从事物的数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学的研究对象、以及研究对象之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律；用数学符号或者数学术语予以表征。 抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。抽象使得数学高度概括、表达准确、结论一般，使得数学知识成为有序多级的系统。 抽象能力是人类认识世界、形成知识、把握规律的基本能力。一个人具有抽象能力的素养，就有可能：在错综复杂的事物中抓住问题本质，在变化万千的事物中抓住一般规律，并且能用准确简洁的语言表达本质和规律。抽象能力的素养是形成理性思维的基础，有利于一个人养成一般性思考问题的习惯。在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解这个学科的知识结构和本质特征。 3、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。包括发现、提出数学命题的思维过程，也包括验证、表达数学命题的思维过程。逻辑推理是探究事物规律、发现提出问题、分析解决问题的重要途径。 逻辑推理是得到数学命题、构建数学体系的基础，因此是数学得以发展的基础和动力，是数学严谨性的保障。 逻辑推理是科学素养的思维核心。一个人具有逻辑推理的素养，就可能会理性地观察、理解和解释周边事物。在数学教学活动中，逻辑推理素养的养成，有利于学生理解数学结论的来龙去脉，形成举一反三的能力；有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯；有利于学生提升探究事物本源的能力；有利于学生形成创新意识，提升创新能力。 4、数学建模 指运用模型思想解决现实问题。包括在实际情境中发现问题，科学地提出问题；用数学语言描述问题，构建数学模型；求解模型得到结果，在现实中验证结果；修改完善模型，最终解决问题。 数学模型是数学与外部世界联系的桥梁，数学建模是数学应用的主要方式。随着科学的进步和社会的发展，越来越多的学科都用数学模型来刻画规律，数学建模能力已经成为许多学科的基本素养。 学生具有数学建模能力，有利于学生养成从整体的角度思考问题和解决问题的习惯；有利于学生养成数学应用意识，提升学生数学应用能力。在数学教学活动中，数学建模能力的养成，有利于学生感悟数学与现实世界的联系，认识数学的价值，提升学生学习数学的兴趣和解决现实问题的自信。 5、几何直观 几何直观主要是指利用图形解决数学问题。包括对图形的认识、把握图形之间的关系，也包括运用图形描述、理解、分析、解决数学问题。 几何直观有利于揭示数学问题实质、启迪解决数学问题思路、理解数学结果意义。 建立学科直观是教育的重要目标。在数学直观中，建立代数直观和统计直观是非常困难的，几何直观的建立是可行的，这是因为图形为几何直观的建立提供了感官基础。几何直观素养不仅不局限于几何，甚至不局限于数学，一个人具有几何直观素养，就可能形成利用图形理解、分析、解决问题的思维习惯。在数学教学活动中，学生具有几何直观素养，有利于学生理解数学的本质，提高数形结合能力、空间想象能力和数学推理能力。 6、运算能力 指明晰运算对象，依据运算法则解决数学问题的能力。包括分析运算条件，探究运算方向，选择运算法则，设计运算程序，求得运算结果，解决数学问题的能力。 运算能力是解决数学问题的基本能力，是数学应用能力的基础，是用计算机解决现实问题应当具备的能力。 一个人具有运算能力的素养，有利于养成程序化思考问题和解决问题的习惯，养成实事求是、一丝不苟的科学精神。在数学教学活动中，学生具有较好的运算能力，有利于培养学生解决问题的能力，提升推理论证的能力。 7、数据分析 数据分析是指从数据中获取信息、形成知识的能力。包括有效收集数据，合理表达数据，计算统计量，构建统计模型，解释结论意义的能力。 数据是信息的载体，文本、声音、图像、信号等都可以数字化形成数据。随着大数据时代的到来，数据分析深入到现代社会生活的各个方面，数据分析能力已经成为公民应当具备的基本素养。 具有数据分析能力的素养，可以更好地理解现实世界，知道有些事物的发生是确定的，有些事物的发生是随机的；对于随机发生的事物，只要有效地获取和分析与事物有关的数据，可以得到事物的信息和知识。在数学教学活动中，培养学生数据分析能力，有利于学生养成基于数据思考和论证问题的习惯；有利于学生提升解决现实问题的能力；有利于学生学会选择合理方法解决问题、设计行为策略的能力。 三、当前课堂教学的一些现象 1、课堂教学目标的定位不准确，把 “三维目标”当成课堂教学目标。 2、内容所蕴含的价值观资源挖掘得不够。 3、 缺乏内容为载体，过程中渗透思想方法、培养思维能力的教学措施。 4、不用教材，滥用教辅，误导教学。 5、教学的投机性，走捷径的企图明显，试图通过大量练习的高分。需要商榷的一些问题 1、导学案泛滥：扰乱了“预设”和“生成”的关系。 2、采用课前导学案已经成为常态，造成预设的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，教学的重心过于前移，在某种程度上掩盖了学生独立思考和当堂训练落实的情况，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考、交流的空间 3、导学案加重了学生的负担 4、小组合作学习该怎么做？数学学习首先需要独立思考！ 5、翻转课堂该怎么看？什么地方用？什么时候用？怎么用？数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，翻转课堂能用于“教思维”吗？ 四、我国数学教育的问题与思考 1.课程内容与结构 课程内容，一是比较庞杂、臃肿，基础性不突出；二是开放性不够，对学生建立完整的数学思维方式不利；三是不能反映信息化社会的需求以及技术环境下数学学习特点。课程结构，模块化破坏了知识的系统性，削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的自我生长能力。 2.教学素材的选择和组织 理想：反映知识的背景和应用（数学知识的内在逻辑，与现实的联系性），关注真实性问题，以开放的形式，解决的途径多样化，答案也可以不唯一。 现实：形式化的学习材料，标准化的答案。虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化。唯一的目的是应对高考的功利诉求。 3学与教的过程 理想：注重调动所有感官，动手触摸、动眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习活动、长时间的“悟”，然后是有所发现。 现实：学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，“悟”的过程太短，甚至没有。直接告诉知识后，进行大运动量操练可能成为“熟练工”，但肯定成不了“领导者”、科学家、思想家等等。 4学习态度 理想：对数学的强烈兴趣，主动学习，培养一种专注于数学问题的习惯。 现实：因为高考要考所以只能硬着头皮学许多学生憎恨数学。 “其实大多数人恨的不是数学，而是中学老师教给你的那门叫做数学的科目”。 丘成桐说，学生不喜欢数学是“老师讲得不好！”他认为数学教学的关键是教师，这是世界性的共识。 5学习结果 理想：养成自主学习的习惯和能力；知识成为独立面对问题时的智慧，成为认识问题、解决问题的利器。 现实：习惯于依赖，解老师给的、各种教辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和能力，“知识”量大，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题包袱。 如何通过改革，改变现状？我们应该从哪些方面做出努力？教师专业发展的三大基石 理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。 特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。五、理解数学知识的意蕴 包括知识目标、知识价值、知识乐趣、知识热情等，它是人们在知识生产过程中的目标追求与价值取向。 知识意蕴是启动、维持与强化认识活动，推动知识产生的内在力量与根本动力。不了解知识意蕴，就不可能了解学科，对这个学科的认识就不会达到一定的高度，很难在教学中提出一些本原性的问题。理解数学知识的意蕴是培养数学核心素养的前提。 从培养创新人才出发,应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；面对一个数学对象，如何展开研究；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。 函数的意蕴 为运动变化的世界提供描述、解释、预测和控制的模型。 幂函数、指数函数、对数函数都是拟合某种运动变化规律的数学模型，有拟合好坏之别。 从具体函数上升到一般函数性质的研究，要遵循一定的“套路”，如要研究函数的对应关系、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、连续性、可微性，等等。 三角函数的意蕴是用匀速圆周运动描述周期运动，这就决定了三角函数的性质其实是圆的性质的解析表达，三角函数的母体其实就是圆。 数列是离散型函数，其要义在于体现函数的逼近功能，一步步地逼近目标，后一步的实现与前一步密切相关，前一步是后一步的基础。这和算法的思想非常相似。 几何 平面（立体）几何的意蕴在于研究几何体的结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。 空间问题转化为平面问题，处处讲“退”的策略，是立体几何的基本手法。 平面向量的意蕴是把平面、空间的几何结构代数化，便于从运算角度处理几何问题。 解析几何 其意蕴是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质。从历史上看，解析几何的内容可以用综合法研究，用坐标法研究平面几何可以看作是平面几何结构和度量性质的解析化。 概率论 用数学方法把握随机现象中隐含的必然规律性，从而把随机性数学的问题转化为确定性数学的问题，是从数学的角度研究偶然性与必然性这一对哲学矛盾。 统计学 是“处理数据的科学”，其意蕴在于“撬开数据的嘴巴”，让数字说话，即对收集的统计数据，根据一定的概率模型进行量化的分析、总结，并进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。观察、试验、调查是统计研究方法的基石，使用“由部分推断全体”的统计推断方法而得到一般性结论。统计以概率为理论基础，统计推断、假设检验都要基于概率的思想。 六、关于数学的整体性 整体是事物的一种真实存在形式。 数学是一个整体。 数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。 学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。 从数及其运算看数学的整体性 在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义；0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。 让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。 数系扩充的基本思想是什么 数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。 数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。 “有理数”的整体结构 背景（现实需要、数学发展的需要）定义、表示、分类性质运算联系和应用。 研究一个数学新对象的基本套路。 “数系扩充与复数的引入”的教学设计 解析几何课程的整体设计思路 1“课标”对解析几何内容的安排 坐标法为核心，依“直线与方程圆与方程圆锥曲线与方程极坐标系与参数方程”螺旋上升地展开内容。 解析几何是方法论代数方法研究几何。 直线与圆基础，强调与平面几何研究方法的比较，坐标法的体验。圆锥曲线体现坐标法的威力（有限接触） 坐标系与参数方程充分展示坐标法的综合性：坐标系的多样性、曲线方程的多样性、联系方式的多样性等。 局限：缺少直观形象支撑（数缺形时少直观）几何证明选讲中用综合法进行了研究。 2坐标法为核心，体现数形结合思想 形式上：“三步曲”； 经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。 平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问题一个点？两个点？三个点？ 直线与方程的结构 在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素平面几何是”两点确定一条直线”；这里要发挥直角坐标系的力量，因此引入倾斜角和斜率的概念。 斜率：概念、公式（不同条件下的不同形式）、性质（特例、关系） 直线的方程：“一点和一个方向，或两点，唯一确定一条直线”的代数化。求解的过程是“同一事物的两种表示等价”。 从哪些角度讨论直线方程？ 不同的条件下的不同形式可以问学生：你认为可以从哪些角度确定一条直线？ 与直线相关的几何问题有哪些？如何利用直线方程进行讨论？平面几何的经验，讨论“相交线与平行线”，“相交线”中有交点坐标、交角、点到直线的距离等，特例是垂直；“平行线”中，平行的条件，平行线间的距离。还可以讨论哪些问题？ 二元一次不等式表示平面区域如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般强调归纳的过程。直角坐标系中，方程xy6=0的解为坐标的点在直线L上；同时，直线L上的点的坐标都是方程xy6=0的解由此你能提出什么新问题？不在直线L上，则即或坐标平面被直线xy6=0分成三个部分，它们与xy60， xy6=0 ，xy60有什么关系呢？任意取点P，代入，找规律发现“同侧同号”。如何证明“同侧同号”点P在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用数量关系表达？获得证明思路的关键 对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度； 对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识； 在直角坐标系中，几何方位的代数化以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左右”的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。 七、关于系统思维的培养 数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。 例 研究“三角形”的系统思维 定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；明确研究对象 基本性质，即研究要素之间的关系，得到 “三角形内角和等于180” 等； 研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等； 三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）； 特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）； 三角形的变换（如相似三角形等）； 直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作为一个系统进行研究 明确研究对象（定义、表示、划分） 性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系； 定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。 培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。什么叫性质？ 性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。 问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？ 从三角形的“内角和为180”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？ “内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。 几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。 从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。 两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。 研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。圆的几何性质 要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？ 同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦； 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。 切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点所作圆的两条切线长相等。 你能发现一些与圆心角相关的定理吗？几何体结构特征的研究 棱柱 要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高 要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱 特例：长方体正方体，平行六面体 直线与平面平行的性质 位置关系：直线l 平面； 其他事物：直线、平面； 命题： （1）如果 al，那么a ； （2）如果 a ，那么a l； （3）如果a l，那么a； （4）如果a，那么a l；（5）如果l，那么；（6）如果，那么l；（7）如果l，那么 ；（8）如果 ，那么 l。（9）与“公理”相联系，直线l与平面 内任意一点A确定一个平面 ， =m ，那么 ml；（10）l ，所以l =。如果m在 内，则或者ml，或者m与l是异面直线。（11）直线m与直线l异面，则过直线m有且只有一个平面与直线l平行。（12）l ， =l， =l1， =l2，那么l1l2。从培养系统思维的要求出发设计教学 以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。数学化的过程关于“解三角形” 教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考： 如何发现问题； 从定性到定量地研究问题； 将新问题化归为旧问题； 从知识的相互联系性思考问题；等等。如何研究一个数学对象（问题） 数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？ 六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。解直角三角形问题的引出关于解一般三角形 对于“解三角形”，你会哪些知识？会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。 给定两边一夹角，求其他边、角化归为直角三角形。 还有没有其他方法？从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？ 你还能提出哪些问题？ 对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？ 对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？ 一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。八、发挥核心概念及其反映的数学思想方法的引领作用 数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。 把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。 核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法。 发挥数学核心概念及其反映的思想方法的引领作用至关重要。 “向量法”的本质 “向量法”的教学，要让学生对向量法的特点有基本而完整的认识的基础上与相关知识建立联系。 向量法的本质，首先是让几何量带上符号，“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。” （F克莱因 ） 这几个“一般定理”就是： 向量加法法则（向量回路）； 向量数乘的意义及其运算律； 向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0）；平面（空间）向量基本定理。 向量的“联系性” 向量回路与三角形定义一致，三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础； 向量数乘与三角形相似的紧密联系； 平面向量基本定理与平行四边形的性质一致； 平面向量数量积与余弦定理等价；等等。 向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，形成有机联系的整体。 向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的关键。教学中的问题与改进 没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法。 把向量法中的代数化曲解为“坐标运算”窄化了向量法的应用范围。 改进：加深对“方向”的重要性的认识，加强从四个“一般定理”出发思考和解决问题的教学，加强“代数运算”和“图形运算”的结合。九、要使学生掌握研究一个数学对象的具体方法 数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导保证高立意。 好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。 一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。围绕核心概念发展知识体系十、数学方法因解决问题的需要而产生 解决一个数学问题，无非是两种途径：（1）调动已有知识解决之用概念、原理为条件和结论搭桥；（2）创造一种新的方法解决之在分析面临问题的特征的过程中发现、创造，核心是从具体事例中抽象规律，概括出一般方法。 数学归纳法的教学 如何引出问题明确要解决的问题是“证明一个依赖于自然数n的命题p(x)”，而用现有的逻辑推理方法如分析法、综合法、反证法等无法证明。 如何获得方法在具体推理过程中发现结构，这里就是归纳（为什么这种方法叫做数学归纳法？）： ；由和得；由和得； 归纳出具有一般性的结构：ak=1/k和得到。 利用生活经验（多米诺骨牌等）增强直观感受，使学生确信方法的可靠性； 方法的给出，强调第二步到底要做什么。 如何教解题（应用）亦步亦趋地写出条件和结论各是什么；用数学归纳法证明时，第一步要证的是什么，特别是第二步本质上是要干什么证明一个命题：以n=k成立为条件，证明n=k+1也成立。 缺第一步、第二步的辨析放在哪里？ 小结如何做？十一、使学生学会用数学语言思考和表达 用代数、几何的语言刻画和表达一种数学现象，是数学学习的基本任务。完成这个任务，实际上也是进行“数学地思考和解决问题”的教学。 函数的单调性 是性质课，核心是要让学生学习用严格的代数语言刻画“在区间D上，当x增大（减小）时，相应的f(x)也随着增大（减小）”。 要引导学生借助具体函数，经历从图像直观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻画的过程。 教学设计中，关键是要思考如何采取有效措施突破x在区间D上的任意取值这一难点。 通过适当的问题，设法把“任意”两字从学生的潜意识中“逼”出来，引导他们体会借助代数符号（字母表示数的任意性），用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力： 问题：你是怎样理解“y随x的增大而增大”的？你能用自己的语言说说吗？可以y=x2为例。 意图：具体化。学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y也增大。” 追问1：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y也增大”又该如何表示？可以y=x2为例。 预设：一般地，学生会从我们提供的表格中看到具体数值的变化规律，如12，f(1)=14=f(2)；23，f(2)=49=f(3)； 追问2：（1）能写得完吗？怎么办？ （2）你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？预设：只要就有。 追问3：这里对有什么要求？只取（0，）上的某些数是否可以吗？你能举例说明吗？ 预设：应该是区间（0，）上的任意两个数。追问4：所以，更严格的表达应该是预设：任取（0，），只要就有。 总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量。其中，任取（0，），把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程。十二、加强用数学解决实际问题的教学 加强用数学解决实际问题的教学，是将数学知识转化为认识世界革新创造的智慧的关键环节。学以致用才能体现出学习者的智慧。 我们的课堂教学，解答数学内部的、结构良好的题目占据主要地位，而用数学解决实际问题的教学还相当薄弱。 数学应用课，要选择合适的内容。具体实施的关键是要让学生经历完