高三数学高考二轮复习专题课件8：不等式.ppt

1 理解不等式的概念 性质 掌握不等式的解法 2 掌握两个 三个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理 并会简单应用 3 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 4 会解简单的绝对值不等式 5 熟练掌握一元二次不等式 组 的解法 6 熟练掌握二元二次不等式组的解法 7 能准确绘画不等式组所表示的平面区域 会求目标函数的最大 小 值及确定最优解 学案8不等式 1 2009 湖南 若log2a 0 则 a a 1 b 0b a 1 b 0c 0 a 1 b 0d 0 a 1 b 0解析由题意可知 0 a 1 b 0 d 2 2009 全国 不等式的解集为 a x 0 x 1 x x 1 b x 0 x 1 c x 1 x 0 d x x 0 解析由题意可知 d 3 2008 全国 设变量x y满足约束条件 则z x 3y的最小值为 a 2b 4c 6d 8解析作出可行域如图所示 可知当x 3y z经过点a 2 2 时 z有最小值 此时z的最小值为 2 3 2 8 d 4 2009 北京 若函数f x 则不等式 f x 的解集为 解析 不等式 f x 的解集为 x 3 x 1 3 1 题型一不等式的解法 例1 解不等式ax2 2a 1 x 2 0 解 当a 0时 由题意可知 原不等式的解集为 x x 2 当a 0时 原不等式可化为 即方程ax2 2a 1 x 2 0的两根分别为x1 2 x2 则 当a 时 原不等式的解集为 x x 2或x 当0 a 时 原不等式的解集为 x x 或x 2 当a 时 原不等式的解集为 x x 2 当a 0时 原不等式的解集为 x x 2 探究拓展 在解含参数不等式时 应首先对参数进行分类讨论 但对分类标准的把握既是重点也是难点 特别是变量的系数含有参数 一定要讨论参数是否为零 然后再进行求解 切记 变式训练1解关于x的不等式解原式可化为 当k 1时 原不等式的解集为 k 1 2 当k 1时 原不等式的解集为 2 当1 k 2时 原不等式的解集为 1 k 2 当k 2时 原不等式的解集为 1 2 2 当k 2时 原不等式的解集为 1 2 k 题型二利用函数的性质求参数的取值范围 例2 若不等式x2 ax 1 0对于一切x 0 2 成立 求a的取值范围 1 若题中区间改为x 0 求a的取值范围 2 若题中区间改为x 2 2 求a的取值范围 3 若题中区间改为a 2 2 求x的取值范围 解原不等式可化为所以a的取值范围是 2 1 因为则函数f x 在区间 0 上是减函数 所以f x min 所以a的取值范围是 2 因为x 2 2 而当x 0时 原式为02 a 0 1 0恒成立 此时a r 当x 0时 因为则当x 0 2 时 知a 2 所以当x 2 0 时 因为由函数的单调性可知 所以f x max f 1 2 所以a 2 综上可知 a的取值范围是 2 2 3 因为a 2 2 则可把原式看作关于a的函数 即g a xa x2 1 0 由题意可知 解之得x r 所以x的取值范围是 探究拓展 本题考查了不等式恒成立问题 在给定自变量的取值范围时 解有关不等式问题时 往往采用分离变量或适当变形 或变换主元 或构造函数 再利用函数的单调性或基本不等式进行求解 在解答时 一定要注意观察所给不等式的形式和结构 选取合适的方法去解答 变式训练2已知不等式x2 px 1 2x p 1 若当2 x 4时 不等式恒成立 求p的范围 2 若当 2 p 2时 不等式恒成立 求x的范围 解 1 原不等式可化为p x 1 x2 2x 1 又因为2 x 4 所以p 1 x 所以p的取值范围是 1 2 原式可看作关于p的函数f p x 1 p x2 2x 1 0 又因 2 p 2 所以解之得x 1 3 题型三线性规划问题 例3 设二元一次不等式组所表示的平面区域为m 使函数y ax a 0 a 1 的图象过区域m的a的取值范围是 解析因为二元一次不等式组所表示的平面区域为m 如图阴影部分且左 右两端点坐标分别为p 1 9 q 3 8 由函数y ax的图象经过区域m 如图所示 则由图象可知所以a的取值范围是 2 9 答案 2 9 探究拓展 在求解线性规划问题时 一定要准确画出约束条件下的可行域 再根据目标函数的要求求出相关的数据 进而解答该题 变式训练3 2008 安徽 若a为不等式组表示的平面区域 则当a从 2连续变化到1时 动直线x y a扫过a中的那部分区域的面积为 解析如图所示 区域a表示的平面区域为 obc内部及其边界组成的图形 当a从 2连续变化到1时扫过的区域为四边形odec所围成的区域 s四边形odec s obc s bde 题型四不等式的综合应用 例4 2009 全国 设函数f x x2 aln 1 x 有两个极值点x1 x2 且x1 x2 1 求a的取值范围 并讨论f x 的单调性 2 证明 1 解令g x 2x2 2x a 其对称轴为x 由题意知x1 x2是方程g x 0的两个均大于 1的不相等的实根 其充要条件为 当x 1 x1 时 f x 0 f x 在 1 x1 内为增函数 当x x1 x2 时 f x 0 f x 在 x1 x2 内为减函数 当x x2 时 f x 0 f x 在 x2 内为增函数 2 当x x2 时 f x 0 则h x 2x 2 2x 1 ln 1 x 2x 2 2x 1 ln 1 x 当x 0 时 h x 0 h x 在 0 上单调递增 当x 0 时 h x 0 h x 在 0 上单调递减 探究拓展 在确定函数的单调区间时 往往需要对所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决 不等式的证明常常借助构造函数 利用函数的单调性进行证明 从而使问题的解决变得简单 明快 变式训练4 2009 江西 设函数f x 1 求函数f x 的单调区间 2 若k 0 求不等式f x k 1 x f x 0的解集 解 1 由f x 0 得x 1 因为当x 0时 f x 0 当0 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以f x 的单调增区间是 1 单调减区间是 0 0 1 2 由f x k 1 x f x 得 x 1 kx 1 0 故当0 k 1时 解集是 x 1 x 当k 1时 解集是 当k 1时 解集是 x x 1 考题再现 2009 海南 已知函数f x x3 3ax2 9a2x a3 1 设a 1 求函数f x 的极值 2 设a 且当x 1 4a 时 f x 12a恒成立 试确定a的取值范围 解析示范 解 1 当a 1时 对函数f x 求导数 得f x 3x2 6x 9 1分令f x 0 解得x1 1 x2 3 2分列表讨论f x f x 的变化情况 所以 f x 的极大值是f 1 6 极小值是f 3 26 5分 2 f x 3x2 6ax 9a2的图象是一条开口向上的抛物线 关于x a对称 若 a 1 则f x 在 1 4a 上是增函数 6分从而f x 在 1 4a 上的最小值是f 1 3 6a 9a2 最大值是f 4a 15a2 由 f x 12a 得 12a 3x2 6ax 9a2 12a 7分于是有f 1 3 6a 9a2 12a 且f 4a 15a2 12a 由f 1 12a 得 a 1 由f 4a 12a 得0 a 9分所以10分若a 1 则 f a 12a2 12a 故当x 1 4a 时 f x 12a不恒成立 11分所以使 f x 12a x 1 4a 恒成立的a的取值范围是12分 1 在解不等式时 要十分注意不等式性质的灵活利用 还应注意观察 分析所给不等式的形式和结构 据此选取适当的方法和策略 进行有效地变形与整合可迅速得出结论 在利用基本不等式解决有关问题时 应特别注意深刻领会积 和 平方和之间的特殊关系 即 a b都是正实数 要注意主动创设应用基本不等式的条件和环境 仔细观察 分析所给不等式的形式和结构 合理拆分 积极配凑因式是常用的解题技巧 而拆分与配凑的核心是使等号成立 牢记 和定积最大 积定和最小 结论 严格遵循 一正 二定 三相等 的原则 切记验证等号 2 在解答不等式的有关问题 还经常根据所给不等式的结构和形式 通过适当转化构造出满足题意的函数 利用函数的单调性去解答或证明 通过适当转化构造出满足题意的图形 利用数形结合的思想去解答或证明 要掌握这种转化与划归的数学思想 3 在解一元二次不等式时 要把二次方程 二次函数 二次不等式三者有机的结合起来 三者相辅相成 相得益彰 二次函数图象是三者相互联系的纽带 若二次项系数是关于参变量a的代数式f a 时 需对f a 0 f a 0分类进行讨论 当f a 0时 又需对判别式 分 0 0 0进行讨论 在写出不等式的解集时 有时需要通过比较二次函数对应方程 的根来分类 最后确定出分类标准 若不等式中含有指数或对数 则还需对其底数进行分类讨论 最后还再适当整合 确定出满足题意的解集 4 线性规划实质上用的是 图解法 是数形结合思想的一种体现 即将最值问题直观简便地寻找出来 是一种较快的求最值的方法 在解决线性规划问题时 要精确画出约束条件下的可行域 明确目标函数的几何意义是截距还是斜率 根据图形确定目标函数取到最值的位置 求出最值并确定最优解 特别地 当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时 最优解可能有无数多个 线性规划的最优解 若无 其它特殊要求 一般为边界点 如果实际问题为整数解 而若用图象法得到的为非整数解 近似解 应作适当调整 在近似解附近寻找到此时目标函数所在直线距离最近的整数点 即为所求 还需对已取到的目标函数的最值及最优解进行审查 是否与客观实际相符 再进而作答 一 选择题1 2009 山东 在r上定义运算 a b ab 2a b 则满足x x 2 0的实数x的取值范围为 a 0 2 b 2 1 c 2 1 d 1 2 解析根据定义x x 2 x x 2 2x x 2 x2 x 2 0 解得 2 x 1 所以所求的实数x的取值范围为 2 1 b 2 2009 天津 设x y r a 1 b 1 若ax by 3 a b 则的最大值为 a 2b c 1d 解析因为ax by 3 所以x loga3 y logb3 3 2008 全国 设奇函数f x 在 0 上为增函数 且f 1 0 则不等式的解集为 a 1 0 1 b 1 0 1 c 1 1 d 1 0 0 1 c 解析 f x 为奇函数 f x f x 因为f x 是奇函数且在 0 上是增函数 故f x 在 0 上是增函数 由f 1 0知f 1 0 答案d 4 2009 海南 宁夏 理 设x y满足则z x y a 有最小值2 最大值3b 有最小值2 无最大值c 有最大值3 无最小值d 既无最小值 也无最大值解析如图作出不等式组表示的可行域 由于z x y的斜率大于2x y 4的斜率 因此当z x y过点 2 0 时 z有最小值 但z没有最大值 b 5 已知函数则不等式x x 1 f x 1 1的解集是 a x 1 x b x x 1 c x x d x 解析 1 当x 1 0 即x 1时 f x 1 x 1 1 x 原不等式可化为x x 1 x 1 解 得 x2 1 x r 此时不等式的解集为 x x 1 2 当x 1 0 即x 1时 f x 1 x 原不等式可化为x x 1 x 1 解 得 1 x 综上可知原不等式的解集为 x x 1 x 1 x x x 答案c 6 若a是1 2b与1 2b的等比中项 则的最大值为 a b c d 解析a是1 2b与1 2b的等比中项 则a2 1 4b2 a2 4b2 1 因求的最大值 所以a b同号 不妨令a 0 0 b b 二 填空题7 若不等式 k x 1 的解集为区间 a b 且b a 1 则k 解析由数形结合 半圆在直线y k x 1 之下必须x2 2 x1 1 则直线y k x 1 过点 1 则k 8 2009 山东 不等式 2x 1 x 2 0的解集为 解析原不等式等价于不等式组 或 或 不等式组 无解 由 得 x 1 由 得 1 x 综上得 1 x 1 所以原不等式的解集为 x 1 x 1 x 1 x 1 9 已知 x 0 则的最小值为 解析x 0 1 2x 0 又2x 1 2x 1 原式可化为 25 10 2009 天津 若关于x的不等式 2x 1 2 ax2的解集中的整数恰有3个 则实数a的取值范围是 解析原不等式等价于 a 4 x2 4x 1 0 则要满足题意 4a 0 且有4 a 0 故0 a 4 不等式的解集为则一定有1 2 3为所求的整数解集 所以解得a的范围为 三 解答题11 已知函数f x loga x 1 a 0且a 1 点p是y f x 图象上的任意一点 p关于原点的对称点q的轨迹是函数y g x 的图象 1 当0 a 1时 解不等式2f x g x 0 2 当a 1 x 0 1 时 2f x g x m恒成立 求m的取值范围 解 1 由题意可知 g x loga 1 x 由2f x g x 0 得loga x 1 2 loga 1 x 又0 a 1 所以解得 1 x 0 故原不等式的解集为 x 1 x 0 易证函数h x 在区间 0 1 上单调递增 证明略 又a 1 函数2f x g x 在区间 0 1 上递增 函数2f x g x 在区间 0 1 上的最小值为2f 0 g 0 loga1 0 若要2f x g x m恒成立 只需2f x g x 在区间 0 1 上的最小值0 m 即所求实数m的范围是m 0 12 2009 陕西 已知函数f x ln ax 1 x 0 其