高三数学高考二轮复习专题课件6：函数的图象与性质.ppt

1 理解函数的概念 特别是定义域 值域 对应法则 2 准确理解函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 3 灵活掌握函数图象的变换 平移 对称 翻折 旋转等 4 理解二次函数 并能熟练解决二次函数的有关问题 5 理解指数函数 对数函数的概念及性质 并能利用性质解决数学问题 6 了解分段函数 并能简单应用 学案6函数 基本初等函数的图象与性质 1 2009 全国 设函数f x 的定义域为r 若f x 1 与f x 1 都是奇函数 则 a f x 是偶函数b f x 是奇函数c f x f x 2 d f x 3 是奇函数解析由函数y f x 1 是奇函数知 f x 1 f x 1 由函数y f x 1 是奇函数知 f x 1 f x 1 由 知 f x f 2 x 由 知 f x f x 2 f 2 x f x 2 即f x 4 f x 函数y f x 是以4为周期的函数 由 知 f x 1 4 f x 1 4 f x 3 f x 3 函数f x 3 是奇函数 答案d2 2009 全国 函数的图象 a 关于原点对称b 关于直线y x对称c 关于y轴对称d 关于直线y x对称解析由于定义域为 2 2 关于原点对称 又f x f x 故函数为奇函数 图象关于原点对称 a 3 2009 天津 设函数则不等式f x f 1 的解集是 a 3 1 3 b 3 1 2 c 1 1 3 d 3 1 3 解析由已知 函数先增后减再增当x 0 f x 2 f 1 3 令f x 3 解得x 1 x 3 当xf 1 3 解得 33 a 4 2009 北京 为了得到函数的图象 只需把函数y lgx的图象上所有的点 a 向左平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度b 向右平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度c 向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度d 向右平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度解析 将y lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y lg x 3 的图象 再将y lg x 3 的图象上的点向下平移1个单位长度得到y lg x 3 1的图象 c 题型一求函数的定义域和值域 例1 1 2009 江西 函数的定义域为 a 4 1 b 4 0 c 0 1 d 4 0 0 1 2 若函数y f x 的值域是则函数f x f x 的值域是 a b c d 解析 1 由题意知解得 4 x0 得1 t 3 由y 0 得因此在 1 3 上是增函数 t 3时 ymax t 1时 ymin 1 1 2 答案 1 d 2 b 探究拓展 求解这类问题时 一般有两种方法 一是先求外函数的定义域 再把内函数代入 二是直接代入 写出复合函数的解析式 使复合函数有意义即可 这两种方法实际上都采用了整体代入的基本思想 变式训练1 1 2008 湖北 函数f x 的定义域为 a 4 2 b 4 0 0 1 c 4 0 0 1 d 4 0 0 1 2 设g x 是二次函数 若f g x 的值域是 0 则g x 的值域是 a 1 1 b 1 0 c 0 d 1 解析 1 不等式组的解集为 4 0 0 1 所以函数f x 的定义域为 4 0 0 1 2 由题意可知 f g x 的值域是 0 所以函数g x 的值域是 0 又g x 是二次函数 则选项a b都不可能 若g x 的值域是 1 则f g x 的值域也是 1 答案 1 d 2 c 题型二函数的性质 单调性 奇偶性 周期性 例2 1 2009 山东 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 2 已知函数若f 0 2010 则f 2010 解析 1 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 又因为f x 在r上是奇函数 f 0 0 得f 80 f 0 0 f 25 f 1 f 1 而由f x 4 f x 得f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f 1 f 0 0 所以 f 1 0 即f 25 f 80 f 11 2 因为即f x 4 f x 所以函数f x 是以4为周期的函数 又2010 502 4 2 则f 2010 f 502 4 2 f 2 因为所以f 2010 答案 1 d 2 探究拓展 在准确理解函数性质的前提下 切记 奇函数在原点处有定义 则f 0 0 函数f x 满足 f x a f x 则函数f x 是以2a为周期的函数 则函数f x 是以2a为周期的函数 则函数f x 是以4a为周期的函数 变式训练2已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2008 f 2009 的值为 a 2b 1c 1d 2解析因为f x 2 f x 所以函数f x 是以2为周期的函数 则f 2008 f 0 f 2009 f 1 所以f 2008 f 2009 f 0 f 1 log21 log22 1 c 题型三函数的图象问题 例3 2009 山东 函数的图象大致为 解析函数有意义 需使ex e x 0 其定义域为 x x 0 排除c d 又因为所以当x 0时函数为减函数 答案a 探究拓展 1 图象信息题可以较为全面的考查考生的数学素质和能力 解法灵活多样 一定要灵活掌握图象的变换 在利用图象求交点个数或方程解的个数时 作图一定要准确 否则容易得到错误的结论 2 若函数f x 满足 f x a f b x 则图象关于直线x a b对称 f a x f b x 则图象关于点0 对称 函数y f 1 x 的图象与函数y f 1 x 的图象 关于y轴对称 变式训练3符号 x 表示不超过x的最大整数 如 3 1 1 2 定义函数 x x x 给出下列四个命题 函数 x 的定义域是r 值域为 0 1 方程有无数解 函数 x 是周期函数 函数 x 是增函数 其中正确的命题序号有 a b c d 解析由题意作出函数 x x x 的图象如图所示 结合图象可知 函数 x 的定义域是r 值域为 0 1 故 错误 方程的解的个数即函数f x x 的图象与的图象的交点个数 交点有无数个 故 正确 正确 周期为1 由图象易知 错误 答案a 题型四函数的综合应用 例4 已知函数y f x 定义在实数集上 且对任意x y r均有f x y f x f y 又对任意的x 0 都有f x 0 f 3 6 1 判断函数y f x 的奇偶性 2 证明函数y f x 在r上为单调减函数 3 试求函数y f x 在 a b a b z 且ab 0 上的值域 1 解令x y 0 得 f 0 f 0 f 0 f 0 0 再令y x 得 f 0 f x x f x f x f x f x 0 于是函数y f x 为奇函数 2 证明对任意x y r f y f x y f y x y f x f x f y f x y 设x1 x2 r 且x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 显然x1 x2 0 而由题意可知 对任意的x 0 都有f x 0 f x1 f x2 f x1 x2 0 即f x1 f x2 函数y f x 在r上为单调减函数 3 解由于函数y f x 在r上为减函数 故y f x 在 a b 上为减函数 y f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 又由于f b f 1 b 1 f 1 f b 1 2f 1 f b 2 bf 1 同理 f a af 1 又f 3 6 3f 1 f 1 2 f b 2b f a 2a 因此函数y f x 在 a b 上的值域为 2b 2a 探究拓展 抽象函数的综合题一般难度较大 常涉及到多个知识点 抽象思维程度较高 解题时需要把握好如下三点 一是注意定义域的应用 二是利用函数的奇偶性去掉函数符号 f 前的 符号 三是利用函数的单调性去掉函数符号 f 然后再求解 变式训练4定义在 1 1 上的函数f x 满足 对任意x y 1 1 都有f x f y f x 0 当x 1 0 时 有f x 0 1 试判断函数f x 的奇偶性 2 判断函数f x 的单调性 3 求证 1 解令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 0 所以函数f x 是奇函数 2 解设 1f x2 所以f x 在区间 1 0 上单调递减 由奇函数的性质可知 f x 在区间 0 1 上也是单调递减的函数 所以函数f x 是定义域上的减函数 3 证明 考题再现 2009 北京 14分 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间与极值点 解题示范 解 1 f x 3x2 3a 2分 曲线y f x 在点 2 f 2 处与直线y 8相切 6分 2 f x 3 x2 a a 0 当a 0时 f x 0 函数f x 在 上单调递增 此时函数f x 没有极值点 8分当a 0时 由f x 0 得x 9分当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 10分当x 时 f x 0 函数f x 单调递减 11分当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 12分 此时是f x 的极大值点 是f x 的极小值点 14分 1 定义法是论证函数单调性的基本方法 而用导数法论证则更快捷 省力 省时 2 要正确理解奇函数和偶函数的定义 首先定义域要关于原点对称 其次在定义域内应满足 f x f x 或f x f x 3 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之亦然 因此也可以根据函数图象的对称性 判断函数的奇偶性 4 函数最值 极值 的求解类比于函数值域问题的求解 方法颇多 导数法尤为重要 一 选择题1 2009 天津 设则 a a b cb a c bc b c ad b a c解析 a c b b 2 2008 山东 函数y lncosx的图象是 解析y lncosx为偶函数 且函数图象在上单调递减 a 3 2008 安徽 在同一平面直角坐标系中 函数y g x 的图象与y ex的图象关于直线y x对称 而函数y f x 的图象与y g x 的图象关于y轴对称 若f m 1 则m的值为 a eb c ed 解析由题意知y g x 应为y ex的反函数 即y g x lnx 而y f x 与y g x lnx图象之间关于y轴对称 故可得y f x ln x 又f m 1 所以ln m 1 得 m e 1 即m b 4 2009 山东 定义在r上的函数f x 满足 f x 则f 3 的值为 a 1b 2c 1d 2解析由已知得f 1 log25 f 0 log24 2 f 1 f 0 f 1 2 log25 f 2 f 1 f 0 log25 f 3 f 2 f 1 log25 2 log25 2 b 5 已知函数f x 的反函数为g x 1 2lgx x 0 则f 1 g 1 等于 a 0b 1c 2d 4 解析由于f 1 就是g x 1中的对应x值 即1 1 2lgx 知x 1 f 1 1 又g 1 1 2lg1 g 1 1 f 1 g 1 2 c 6 设a 1 若对于任意的x a 2a 都有y a a2 满足方程logax logay 3 这时a的取值集合为 a a 1 a 2 b a a 2 c a 2 a 3 d 2 3 解析因为logax logay 3 所以xy a3 即又当x a 2a 时 y a a2 b 二 填空题7 设a 1 函数f x logax在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为则a 解析因为a 1 函数f x logax在区间 a 2a 上的最大值与最小值分别为loga2a logaa 1 它们的差为则loga2 a 4 4 8 设函数的值为 解析因为所以f 2 22 2 2 4 则 9 如果函数f x ax ax 3a2 1 a 0 a 1 在区间 0 上是增函数 那么实数a的取值范围是 解析f x ax 2ax 3a2 1 lna 由题意知f x 0对x 0 恒成立 当a 1时 lna 0 所以2ax 3a2 1 0对x 0 恒成立 则3a2 2ax 1 在 0 上恒成立 a2 与a 1矛盾 无解 当0 a 1时 lna 0 所以2ax 3a2 1 0对x 0 恒成立 则3a2 2ax 1在x 0 上恒成立 10 已知函数f x x r 满足 f x 1 f x f x 2 且f 1 1 f 2 2010 则f 1 f 2 f 3 f 2009 解析 f x 1 f x f x 2 f x 2 f x 1 f x 3 由 得 f x f x 3 则f x 3 f x 6 所以f x 6 f x 即f x 是以6为周期的函数 由f x f x 3 可得f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0 又2009 6 334 5 所以f 1 f 2 f 3 f 2009 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 3 2009 2009 三 解答题11 已知函数f x 的定义域为r 对任意实数m n都有 1 判断函数f x 的单调性 并证明你的结论 2 若对任意实数x 不等式f ax2 ax 1 f 2x2 2x 恒成立 求实数a的取值范围 解 1