高三数学高考二轮复习专题课件17：直线与圆.ppt

1 掌握确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定两直线平行或垂直 2 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 3 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 学案17直线与圆 掌握两点间的距离公式 点到直线距离公式 会求两平行线间的距离 4 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 5 能根据给定的直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能依据所给两个圆的方程判断两圆位置关系 6 能用直线和圆的方程解决一些简单问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 2009 重庆 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程是 a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 1解析设圆的圆心为c 0 b 则 b 2 圆的标准方程是x2 y 2 2 1 a 2 2009 辽宁 已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2解析由题意可设圆心坐标为 a a 则解得a 1 故圆心坐标为 1 1 半径所以圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 b 3 2009 陕西 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 a b 2c d 解析过原点且倾斜角为60 的直线方程为圆x2 y 2 2 4的圆心 0 2 到直线的距离为d 因此弦长为 d 4 2009 全国 已知ac bd为圆o x2 y2 4的两条相互垂直的弦 垂足为m 1 2 则四边形abcd的面积的最大值为 解析设圆心o到ac bd的距离分别为d1 d2 四边形abcd的面积s ac bd 5 题型一直线的倾斜角 斜率 例1 若圆x2 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线l ax by 0的距离为则直线l的倾斜角的取值范围是 a b c d 解析将圆x2 y2 4x 4y 10 0整理为 x 2 2 y 2 2 得圆心 2 2 半径为 因为圆上至少有3个不同的点到直线l ax by 0的距离为 则圆心到直线的距离应小于或等于 倾斜角的范围为 0 直线l的倾斜角的取值范围是答案b 探究拓展 已知斜率的取值范围确定倾斜角的取值范围 往往结合正切函数的图象解决 但对斜率的取值范围有正负的情况 应注意分段 变式训练1 1 已知 r 则直线的倾斜角的取值范围是 a b c d 解析由题意可知 直线的斜率 当0 k 时 倾斜角的取值范围是 0 k 0时 倾斜角的取值范围是故选c c 2 已知直线l平分圆c x2 y2 2x 4y 4 0 且与以a 3 4 b 为端点的线段有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 解析由题意可知 圆心坐标为c 1 2 设直线的斜率为k 则l kx y k 2 0 所以 题型二直线的位置关系 例2 若直线l1 m 3 x 4y 3m 5 0与l2 2x m 5 y 8 0平行 则m的值为 a 7b 7或 1c 6d 解析由题意m 3 m 5 解之得 m 7或m 1 经检验m 1舍去 探究拓展 直线位置关系的判定 应首先考虑直线的斜率是否存在 若都存在 则利用斜率的数量关系判定 若都不存在 则平行 若一条存在 另一条不存在 则垂直 对于直线的一般方程 更应注意斜率的存在与否 a 变式训练2 1 已知直线l1 ax 4y 2 0 l2 2x 5y b 0互相垂直 垂足为 1 c 则a b c的值为 a 4b 20c 0d 24解析由题意知 d 2 直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是 a x 2y 1 0b 2x y 1 0c 2x y 3 0d x 2y 3 0解析方法一根据直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线斜率是互为相反数得答案a或d 再根据两直线交点在直线x 1上可得答案为d 方法二 利用相关点法 设所求直线上任一点 x y 则它关于x 1对称点为 2 x y 在直线x 2y 1 0上 2 x 2y 1 0 化简得x 2y 3 0 d 题型三圆的方程 例3 在平面直角坐标系xoy中 设二次函数f x x2 2x b x r 的图象与坐标轴有三个交点 经过这三个交点的圆记为c 1 求实数b的取值范围 2 求圆c的方程 3 问圆c是否经过某定点 其坐标与b无关 请证明你的结论 解 1 由题意可知 2 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 令y 0 得x2 dx f 0 d 2 f b 又x 0时 y b 从而e b 1 所以圆的方程为x2 y2 2x b 1 y b 0 3 x2 y2 2x b 1 y b 0 整理为x2 y2 2x y b 1 y 0 过曲线c x2 y2 2x y 0与l 1 y 0的交点 即过定点 0 1 与 2 1 探究拓展 当涉及圆心和切线时 设圆的标准形式较简单 求圆的方程一般有两类方法 几何法 充分利用平面几何的性质 求出相关几何量 进而确定圆的方程 代数法 先设出所求圆的方程 通过适当的计算求出相关量 进而确定圆的方程 变式训练3在直角坐标系xoy中 以o为圆心的圆与直线相切 1 求圆o的方程 2 圆o与x轴相交于a b两点 圆内的动点p使 pa po pb 成等比数列 求的取值范围 解 1 依题设 圆o的半径r等于原点o到直线得圆o的方程为x2 y2 4 2 不妨设a x1 0 b x2 0 x1 x2 由题意得a 2 0 b 2 0 设p x y 由 pa po pb 成等比数列 即x2 y2 2 2 x y 2 x y x2 4 y2 2 y2 1 由于点p在圆o内 故由此得y2 1 所以的取值范围为 2 0 题型四直线与圆的位置关系 例4 2009 江苏 在平面直角坐标系xoy中 已知圆c1 x 3 2 y 1 2 4和圆c2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点a 4 0 且被圆c1截得的弦长为求直线l的方程 2 设p为平面上的点 满足 存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们分别与圆c1和圆c2相交 且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点p的坐标 解 1 由于直线x 4与圆c1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 4 圆c1的圆心到直线l的距离为d 因为直线l被圆c1截得的弦长为所以d 由点到直线的距离公式得从而k 24k 7 0 即k 0或k 所以直线l的方程为y 0或7x 24y 28 0 2 设点p a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2的方程为y b x a 因为圆c1和圆c2的半径相等 且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等 所以圆c1的圆心到直线l1的距离和圆c2的圆心到直线l2的距离相等 即整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 从而1 3k ak b 5k b a bk或1 3k ak b 5k b a bk 即 a b 2 k b a 3或 a b 8 k a b 5 因为k的取值范围有无穷多个 这样点p只可能是点经检验点p1和p2满足题目条件 探究拓展 本小题主要考查直线与圆的方程 点到直线的距离公式 考查数学运算求解能力 综合分析问题的能力 变式训练4已知圆c x2 y2 2x 2y 1 0 直线l y kx 且l与圆c交于p q两点 点m 0 b 满足mp mq 1 当b 1时 求k的值 2 若k 3 求b的取值范围 解 1 圆c x 1 2 y 1 2 1 当b 1时 点m 0 1 在圆上 故当且仅当直线l过圆心c时满足mp mq 圆心坐标为 1 1 k 1 2 由消去y 可得 1 k2 x2 2 1 k x 1 0 设p x1 y1 q x2 y2 mp mq 即 x1 y1 b x2 y2 b 0 x1x2 y1 b y2 b 0 又y1 kx1 y2 kx2 x1x2 kx1 b kx2 b 0 即 1 k2 x1x2 kb x1 x2 b2 0 当b 0时 此式不成立 从而h k 2k2 4k 2在 3 上单调递减 即h k h 3 0 故g k 在 3 上为负 所以在 3 上单调递减 即g k g 3 且所以 注 也可以用基本不等式得出此结论 解此不等式得 所以b的取值范围是 考题再现 矩形abcd的两条对角线相交于m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在ad边所在直线上 1 求ad边所在直线的方程 2 求矩形abcd外接圆的方程 3 若动圆p过点n 2 0 且与矩形abcd的外接圆外切 求动圆p的圆心的轨迹方程 解题示范 解 1 因为ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 且ad与ab垂直 所以直线ad的斜率为 3 又因为点t 1 1 在直线ad上 所以ad边所在直线的方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 4分 2 由解得点a的坐标为 0 2 因为矩形abcd两条对角线的交点为m 2 0 6分所以m为矩形abcd外接圆的圆心 又 am 从而矩形abcd外接圆的方程为 x 2 2 y2 8 8分 3 因为动圆p过点n 所以 pn 是该圆的半径 又因为动圆p与圆m外切 所以 pm pn 即 pm pn 9分故点p的轨迹是以m n为焦点 实轴长为的双曲线的左支 因为实半轴长a 半焦距c 2 所以虚半轴长从而动圆p的圆心的轨迹方程为 x 12分 1 直线问题 求直线方程的主要方法 待定系数法 在使用待定系数法求直线方程时 要注意方程的选择 直线的倾斜角确定直线的方向 斜率k是倾斜角的正切 对直线斜率的考查也包含了对倾斜角及其取值范围的考查 要注意结合正切函数的性质 两直线的位置关系在高考中也频繁出现 尤其是两直线的平行与垂直 往往延伸到对称问题 2 直线和圆的方程常见类型的解决 基本型 主要是基本公式的应用 有关直线方程 圆的方程等试题都属于基本要求 多以选择题 填空题的形式出现 位置型 关于直线与直线位置 直线与圆位置关系的 试题出现次数较多 既有选择题和填空题 又有解答题 既考查基础知识的应用 又考查综合运用知识分析问题 解决问题的能力 注意选择几何方法转化问题 降低运算量 公式活用型 对一些非解析几何问题 通过数形结合 借助斜率 截距等几何意义 或转化为坐标对称问题 应用距离公式等解析几何手段简捷地处理 对称型 这是高考命题的热点之一 常见的是关于原点对称 关于坐标轴对称 应正确理解各种对称的几何意义 综合型 是指对多种知识点的问题 既有直线中多种知识点的综合 也包括直线知识与圆锥曲线或代数等知识联系在一起的综合题 多以高档题的形式出现 要求考生有较强的分析问题解决问题的能力 一 选择题1 将直线y 3x绕原点逆时针旋转90 再向右平移1个单位长度 所得到的直线为 a b c y 3x 3d 解析直线y 3x绕原点逆时针旋转90 所得到的直线方程为再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为 a 2 若直线通过点则 a a2 b2 1b a2 b2 1c d 解析因为点在以原点为圆心的单位圆上 即点m满足x2 y2 1 由于直线通过点m 即直线与x2 y2 1有公共点 即原点o到直线bx ay ab 0的距离应小于等于1 d 3 已知圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积为 a b c d 解析由题意知圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 52 点 3 5 在圆内 点与圆心的距离为1 故最长弦长为直径10 最短弦长为 四边形abcd的面积s b 4 已知直线l ax by c 0与圆x2 y2 4相交于两点m n 若a2 b2 c2 则 o为坐标原点 等于 a 2b 2c 0d 1解析因为a2 b2 c2 所以原点o到直线l的距离d 则 mon 120 即 a 5 如图所示 l1 l2 l3是同一平面内的三条平行直线 l1与l2间的距离是1 l2与l3间的距离是2 正三角形abc的三顶点分别在l1 l2 l3上 则 abc的边长是 a b c d 解析过点c作l2的垂线l4 以l2 l4为x轴 y轴建立平面直角坐标系 设a a 1 b b 0 c 0 2 由ab bc ac知 a b 2 1 b2 4 a2 9 边长2 检验a a b 2 1 b2 4 a2 9 12 无解 检验b a b 2 1 b2 4 a2 9 无解 检验c a b 2 1 b2 4 a2 9 无解 检验d a b 2 1 b2 4 a2 9 正确 答案d6 已知直线 a b是非零常数 与圆x2 y2 100有公共点 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数 那么这样的直线共有 a 60条b 66条c 72条d 78条 解析可知直线的横 纵截距都不为零 即与坐标轴不垂直 不过坐标原点 而圆x2 y2 100上的整数点共有12个 分别为 6 8 6 8 8 6 8 6 10 0 0 10 前8个点中 过任意一点的圆的切线满足共有8条 12个点中过任意两点 构成 66条直线 其中有4条直线垂直x轴 有4条直线垂直y轴 还有6条过原点 故满足题设的直线有52条 综上可知满足题设的直线共有52 8 60条 答案a 二 填空题7 2008 四川 已知直线l x y 4 0与圆c x 1 2 y 1 2 2 则c上各点到l距离的最小值为 解析 圆c的方程为 x 1 2 y 1 2 2 c 1 1 点c到直线l的距离为 圆c上各点到l距离的最小值为8 2008 天津 已知圆c的圆心与点p 2 1 关于直线y x 1对称 直线3x 4y 11 0与圆c相交于a b两点 且 ab 6 则圆c的方程为 解析设点p 2 1 关于直线y x 1的对称点为c a b 圆心c 0 1 圆心c到直线3x 4y 11 0的距离为又弦长 ab 6 由于半径 半弦长 弦心距d构成直角三角形得r2 d2 r2 9 9 18 圆c的方程为x2 y 1 2 18 答案x2 y 1 2 18 9 设有一组圆ck x k 1 2 y 3k 2 2k4 k n 下列四个命题 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析圆心为 k 1 3k 半径为圆心在直线y 3 x 1 上 所以直线y 3 x 1 必与所有的圆相交 正确 由c1 c2 c3的图象可知 不正确 若存在圆过原点 0 0 则有 k 1 2 9k2 2k4 10k2 2k 1 2k4 k n 因为左边为奇数 右边为偶数 故不存在k使上式成立 即所有圆不过原点 10 2008 浙江 若a 0 b 0 且当时 恒有ax by 1 则以a b为坐标的点p a b 所形成的平面区域的面积等于 解析画出可行域如图 1 所示 令z ax by 当b 0时 z ax 又0 x 1 故只需a 1即可 当a 0时 z by 又0 y 1 故只需b 1即可 当ab 0时 线性目标函数化为故只需保证线性目标函数过a 1