（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时分层作业四十二 7.2 空间几何体的表面积与体积 理.doc

课时分层作业 四十二空间几何体的表面积与体积一、选择题(每小题5分,共35分)1.某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为1个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()a.b.c.d.【解析】选b.由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图可得:底面扇形的圆心角为120,又由侧视图知几何体的高为3,底面圆的半径为2,所以几何体的体积v=223=.2.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是()a.18b.36c.45d.54【解析】选d.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径r=6=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积s=266+362=54.3.已知某几何体的外接球的半径为,其三视图如图所示,图中均为正方形,则该几何体的体积为()a.16b.c.d.8【解析】选c.由该三视图可知:该几何体是一个正方体,切去四个角所得的正四面体,其外接球等同于该正方体的外接球,设正方体的棱长为a,则有=, a=2,故该正四面体的体积为v=23-423=.【变式备选】已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图是边长为的正三角形,则该几何体的外接球的体积为()a.b.c.4d.16【解析】选b.由已知中的三视图,可得该几何体的直观图如图所示:取ab的中点f,af的中点e,由三视图可得:ab垂直平面cde,且平面cde是边长为的正三角形,ab=1+3=4,所以af=bf=2,ef=1,所以cf=df=2,故f即为棱锥外接球的球心,半径r=2,故外接球的体积v=r3=.4.已知在长方体abcd-a1b1c1d1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点a1到截面ab1d1的距离是()a.b.c.d.【解析】选c.设点a1到截面ab1d1的距离是h,由=,可得h=aa1,解得h=.【一题多解】选c.取b1d1的中点e1,连接a1e1,ae1,根据几何体的结构特征,可知,作a1hae1,垂足为h,a1h平面ab1d1,a1h即为所求.a1e1=,a1a=4,a1aa1e1,a1h=(等面积法).【变式备选】如图,在四棱锥p-abcd中, 底面abcd是矩形,pd底面abcd,m,n分别为ab,pc的中点,pd=ad=2,ab=4.则点a到平面pmn的距离为_.【解析】取pd的中点e,连接ae,ne,则因为四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,m,n分别为ab,pc的中点,所以neam,ne=am,所以四边形aenm是平行四边形,所以aemn,所以点a到平面pmn的距离等于点e到平面pmn的距离,设为h,在pmn中,pn=,pm=2,mn=,所以spmn=2=,由ve-pmn=vm-pen,可得h=122,所以h=.答案:【方法技巧】求点到平面的距离(1)能作出高线的则直接作出高线,转化为求线段的长度;(2)不能直接求时,可转化为与平面平行的直线上一点到平面的距离.或利用等体积法求解.5.已知a,b是球o的球面上两点,aob=90,c为该球面上的动点,若三棱锥o-abc体积的最大值为36,则球o的表面积为()导学号12560642a.36b.64c.144d.256【解析】选c.如图所示,当点c位于垂直于面aob的直径端点时,三棱锥o-abc的体积最大,设球o的半径为r,此时vo-abc=vc-aob=r2r=r3=36,故r=6,则球o的表面积为s=4r2=144.6.某几何体的三视图如图所示,其内切球的体积为 ()a.b.c.d.【解析】选a.根据图示可得几何体为正八面体,内切球心为o,过o作oh垂直ad于点h,连接s1h,作or垂直s1h,or即为内切球o的半径.所以r=,v0=.7.如图,在透明塑料制成的长方体abcd-a1b1c1d1容器内灌进一些水(未满),现将容器底面一边bc固定在底面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四种说法:水的部分始终呈棱柱状;水面四边形efgh的面积为定值;棱a1d1始终与水面efgh平行;若eaa1,fbb1,则ae+bf是定值.则其中正确命题的个数是()导学号12560644a.1个b.2个c.3个d.4个【解析】选c.结合题设中提供的图形信息可知:当容器底面一边bc固定时,bcfga1d1,故由线面平行的判定定理可知结论“棱a1d1始终与水面efgh平行”成立;同时由于四边形abfe四边形dcgh,且互相平行,则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确;如图,由于水平放置时,水的高度是定值,所以当一部分上升的同时,另一面下降相同的高度,因为bf=h-fd,ae=h+d1e且fd=d1e,所以bf+ae=h-fd+h+d1e=2h(定值),即结论“若eaa1,fbb1,则ae+bf是定值”是正确的;因为水面四边形efgh的边长在变化,因此其面积是变化的,故结论“水面四边形efgh的面积为定值”的说法不正确.即命题是正确的.【题目溯源】本题来源于人教a版必修2p29a组第4题.【变式备选】水平桌面上放置着一个容积为v的密闭长方体玻璃容器abcd-a1b1c1d1,其中装有v的水,给出下列操作与结论:把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱bc保持在桌面上,这个过程中,水的状态始终是柱体;在中的运动过程中,水面始终是矩形;把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体内一个定点;在中的转动中水与容器的接触面积始终不变.以上说法正确的是_.(把所有正确命题的序号都填上)【解析】水的部分始终呈棱柱状;从棱柱的特征及平面abfe平行平面dcgh即可判断正确;如图,在中的运动过程中,水面四边形efgh的对边始终保持平行,且effg,故水面始终是矩形,是正确的;由于始终装有v的水,而平分长方体体积的平面必定经过长方体的中心,即水面始终过长方体内一个定点;所以结论正确;在中的转动中水与容器接触时,由于水的体积是定值,所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半,故始终保持不变,所以正确.答案:二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图直三棱柱abc-a1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上,ab=ac,侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形,则侧面abb1a1的面积为_.【解析】由题意知,球心在侧面bcc1b1的中心o上,bc为截面圆的直径,所以bac=90,abc的外接圆圆心n是bc的中点,同理a1b1c1的外心m是b1c1的中点.设正方形bcc1b1的边长为x.在rtomc1中,om=,mc1=,oc1=r=1(r为球的半径),所以+=1,即x=,则ab=ac=1,所以=1=.答案:9.(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是_cm2,体积是_cm3.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长、宽、高分别为4,2,2,所以体积为2(224)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(222+244)-222=72(cm2).答案:723210.一个圆锥的表面积为,它的侧面展开图是圆心角为120的扇形,则该圆锥的高为_.【解析】设圆锥底面半径是r,母线长为l,所以r2+rl=,即r2+rl=1,根据圆心角公式=,即l=3r,所以解得r=,l=,那么高h=.答案:【变式备选】已知圆锥侧面展开图的圆心角为90,则该圆锥的底面半径与母线长的比为_.【解析】设圆锥的母线长是r,则扇形的弧长是=,设底面半径是r,则=2r,所以r=,所以圆锥的底面半径与母线长的比为14.答案:1.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ()a.18+36b.54+18c.90d.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选b.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为宽为3,长为3的矩形,前后为底边长为3,且底边上的高为6的平行四边形,所以s=9+9+18+18+9+9=54+18.2.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为 ()a.90b.63c.42d.36【解析】选b.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为v=326+324=63.3.(10分)已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥