高考数学第一轮总复习 9.5空间向量及其运算精品导学课件.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 空间向量及其运算 第讲 5 1 空间向量 在空间 我们把具有 和 的量叫做向量 空间向量也用 表示 并且 的有向线段表示同一向量或相等的向量 2 空间向量的加法 减法与数乘向量 如下图 我们定义空间向量的加法 减法与数乘向量为 r 大小 方向 有向线段 方向相同且长度相等 a b a 3 空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律 1 加法交换律 2 加法结合律 3 数乘分配律 a b b a a b c a b c a b a b 4 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 则这些向量叫做共线向量或平行向量 a平行于b 记作a b 5 共线向量定理 对于空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使 相互平行或重合 a b 推论 如果直线l为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线 那么对任一点o 点p在直线l上的充要条件是存在实数t 满足等式 其中向量a叫做直线l的方向向量 6 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 则向量p与向量a b共面的充要条件是存在实数对x y使p 推论 空间一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对x y 使 xa yb 7 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组x y z使p 推论 设o a b c是不共面的四点 则对空间任一点p 都存在唯一的有序实数组x y z 使 8 已知空间两个向量a b 则a b的数量积为 a b 其中 a b 表示向量a b的 其范围为 xa yb zc a b cos a b 夹角 0 9 空间向量的数量积有如下性质 e为单位向量 1 a e 2 a b 3 a 2 10 空间向量满足如下运算律 1 a b 2 a b 3 a b c a cos a e a b 0 a a a b b a a b a c 1 设向量a b c不共面 则下列集合可作为空间的一个基底的是 a a b b a a b a b b a b c a b b a c d a b c a b c 解 由已知及向量共面定理 易得a b b a c不共面 故可作为空间的一个基底 故选c c 2 在平行六面体abcd a b c d 中 向量 是 a 有相同起点的向量b 等长的向量c 共面向量d 不共面向量解 因为 所以 共面 c 3 已知四边形abcd中 a 2c 5a 6b 8c 对角线ac bd的中点分别为e f 则 解 因为 又 两式相加 得 3a 3b 5c 因为e是ac的中点 故 同理 所以 6a 6b 10c 所以 3a 3b 5c 1 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 求证 证明 因为平行六面体的六个面都是平行四边形 所以 题型1向量关系的化简与证明 所以点评 向量的化简与证明实际上就是转化为向量的加减运算及其逆运算 利用向量的合并或分解进行转化 以求得结果 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 化简下列表达式 1 2 解 1 原式 2 原式 2 在平行六面体a1b1c1d1 abcd中 m分所成的比为 n分a1d所成的比为2 设 a b aa1 c 试用a b c表示 解 如图 连结an 则 由已知四边形abcd是平行四边形 故 a b 又 题型2向量的基底表示 由已知n分所成的比为2 故于是 点评 空间向量的基底一般是取共起点的三个不共面的向量 其他向量都可转化为这三个向量的代数和形式 注意向量的方向性及加减运算 设p是正方形abcd所在平面外一点 o为正方形abcd的中心 q是cd的中点 1 用基向量 表示向量 2 用基向量 表示向量 解 1 2 因为 所以 又因为 所以 从而有 已知空间四边形oabc中 m为bc的中点 n为ac的中点 p为oa的中点 q为ob的中点 若ab oc 求证 pm qn 证法1 因为所以所以故pm qn 题型3空间向量的初步应用 证法2 所以pm qn 点评 空间向量是解决立体几何问题的一种工具 本题就是利用向量的垂直关系来证直线的垂直关系 而证空间向量的垂直 一般先将两向量转化为基向量的形式 基底一般是取题中已知条件中出现过的直线上的向量 然后计算两向量的数量积 如图 平行六面体ac1中 ae 3ea1 af fd ag gb 过e f g的平面与对角线ac1交于点p 求ap pc1的值 解 设因为 所以又因为e f g p四点共面 所以所以 所以ap pc1 3 16 1 如左下图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m为 a1bd的重心 求证 a m c1三点共线 证明 如右上图 连结a1m并延长交bd于e点 题型共线问题的判定与证明 因为m为 a1bd的重心 所以e为bd的中点 连结ae 所以故向量am与ac1共线 即a m c1三点共线 2 求证 平行六面体的四条对角线相交于一点 并且在交点处互相平分 证明 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设o p m n分别是对角线ac1 bd1 a1c b1d的中点 题型共点问题的判定与证明 则同理可证 所以o p m n四点重合 故四条对角线相交于一点 且在交点处互相平分 1 空间向量是平面向量的推广 空间向量的加法 减法和数乘向量运算 与平面向量的运算法则一致 2 空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示 因此 空间两个向量的加法与减法运算 实质上是两个平面向量的加法与减法运算 3 空间共线向量与平面共线向量的概念是相通的 共线向量定理也完全一致 空间共面向量定理是平面向量基本定理的变通 空间向量基本定理是平面向量基本定理的扩展 这些定理源于平面向量的加法 减法与数乘向量运算 是沟通向量之间内在联系的重要依据 4 空间直线的向量参数表示式 是一个以