【金版教程】高考数学总复习 6.3不等式的证明课件 文 新人教B版.ppt

最新考纲解读1 掌握不等式的证明方法 2 会用比较法 分析法和综合法证明不等式的有关命题 3 了解反证法 换元法 放缩法等方法 高考考查命题趋势1 高考解答题中 不等式证明的内容历来是高中数学中的一个难点 加之题型广泛涉及面广 证法灵活 因此一直来是高考的热点问题 2 高考中几乎不可能单独考查不等式的证明 若考也常常与函数 数列 三角等综合起来考查 3 在2009年高考中 大多试卷没有直接考查不等式的证明 但大多涉及此知识 估计2011年会结合函数考查此知识点 5 综合法 由因导果 模式 根据不等式性质等 演绎推理 6 分析法 证题的理论依据 寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 我们可以利用分析法寻找证题的途径 然后用 综合法 进行表达 1 不等式证明的常用方法还有 换元法 放缩法 反证法 函数单调性法 判别式法 数形结合法等 2 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代换的等价性 一 选择题1 已知下列不等式 1 x2 3 2x x r 2 a5 b5 a3b2 a2b3 a b r 3 a2 b2 2 a b 1 其中正确的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 1 x 1 2 2 0 x2 3 2x 2 a5 b5 a3b2 a2b3 a2 b2 a3 b3 0 a5 b5 a3b2 a2b3 3 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 答案 d 答案 d 二 填空题3 若x2 y2 4 则2x 3y的取值范围是 解析 由已知令x 2sin y 2cos 答案 a b 5 若a b c 1 则a2 b2 c2的最小值为 解析 a b c 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1 因此a2 b2 c2 答案 比较法 包括作差比较法和作商比较法 1 作差比较法的基本步骤 作差 变形 定符号 比较差与零的大小 2 作商比较法的基本步骤 作商 变形 比较与1的大小 去分母时一定要注意分母的正负号 思考探究1 1 已知a b m n r 求证 am n bm n ambn anbm 证明 am n bm n ambn anbm am an bn bm bn an an bn am bm a b m n r 当a b时 an bn am bm 0 am n bm n ambn anbm a b时 an bn am bm 0 am n bm n ambn anbm 综上知 am n bm n ambn anbm 2 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b 因为a b 0 所以a b 0 3a2 2b2 0 从而 3a2 2b2 a b 0 即3a3 2b3 3a2b 2ab2 1 综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系 为此要着力分析已知与求证之间 不等式左右两端的差异和联系 合理进行变换 去异存同 恰当选择已知不等式 找到证题的突破口 2 分析法是 执果索因 重在对命题成立条件的探索 寻求不等式成立的充分条件 因此有时须先对原不等式化简 常用的方法有 平方 合并 有理化去分母等 但要注意所有这些变形必须能够逆推 书写格式要严谨规范 3 分析法和综合法是对立统一的两个方法 在不等式的证明中 我们常用分析法探索证明的途径后 用综合法的形式写出证明过程 这种先分析后综合的思路具有一般性 是解决数学问题的一种重要数学思想 思考探究2若0 a c b c 求证 c a c 证明 证法1 分析法 要证c a c a c a c a c 2 c2 ab a2 2ac c2 c2 ab a a b 2ac a b 2c 因为a c 故a c 2c 又b c 所以 式成立 所以原不等式成立 分析 本题是一个与自然数n有关的命题 首先想到应用数学归纳法 其次是放缩法 先放缩 后裂项 有的放矢 直达目标 1 放缩的目的就是将不能运算的式子通过合理放缩达到能够继续运算的效果 直至达到证题目的为止 2 放缩时要注意方向要一致 放缩要适度 既不要过大也不要过小 否则达不到应有的效果 1 反证法证明的一般步骤是 反设结论 逻辑推理 导出矛盾 肯定结论 即否定结论 导出矛盾 证得结论的否定是错误的 从而肯定原结论正确 2 反证法适合解决的问题 凡是结论中含有 至少有一个 至多有一个 都大于 不可能 唯一 等含有否定词的命题适宜用此法 证明不等式的方法还有 换元法 判别式法 构造函数法等 证明 代数换元法令a b m r b c n r 则a c m n 1 换元法 对结构较为复杂 量与量之间关系不甚明了的命题 通过恰当引入新变量 代换原命题中的部分式子 简化原有结构 使其转化为便于研究的形式的证明方法 常用的换元法有 代数换元和三角换元 2 构造函数法 根据式子结构特征构造相应函数 利用函数的单调性比较大小 进而达到证明的目的 2 设0 x 1 0 y 1 0 z 1 证明 x 1 y y 1 z z 1 x 1 证明 构造函数f x x 1 y y 1 z z 1 x 整理得 f x 1 y z x y z yz 0 x 1 0 y 1 0 z 1 1 1 y z 1 当0 1 y z 1时 f x 在 0 1 上是增函数 于是f x f 1 1 yz 1 当 1 1 y z 0时 f x 在 0 1