高考数学一轮复习 第一章几何证明选讲第二节圆与直线课件 北师大版.ppt

1 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角 或圆心角 相等 同圆或等圆中相等的圆周角 或圆心角 对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角对的弦是直径 3 圆内接四边形性质定理 对角互补 外角等于它的内对角判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形四个顶点共圆 4 圆的切线 1 切线判定定理 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 切线性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 推论2 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧对的圆周角 5 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理 圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项 4 切线定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点连线平分两切线夹角 1 如图 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 45 则圆o的面积等于 2 已知pa是圆o的切线 切点为a pa 2 ac是圆o的直径 pc与圆o交于点b pb 1 则圆o的半径r 3 如图 圆o的直径ab 6 c为圆周上一点 bc 3 过c作圆的切线l 过a作l的垂线ad 垂足为d 则cd 基础自测答案1 答案 8 解析 连结oa ob bca 45 aob 90 设圆o的半径为r 在rt aob中 r2 r2 ab2 16 r2 8 圆o的面积为8 4 解 1 证明 如图 设f为ad延长线上一点 a b c d四点共圆 cdf abc 又ab ac abc acb 且 adb acb adb cdf 对顶角 edf adb 故 edf cdf 即ad的延长线平分 cde 题型一圆周角 弦切角和圆的切线问题 例1如图所示 o的直径为6 ab为 o的直径 c为圆周上一点 bc 3 过c作圆的切线l 过a作l的垂线ad ad分别与直线l 圆交于d e 求 dac及线段ae的长度 思路分析 利用 acd acb bcf 180 求 dac 利用rt abe rt bac 求ae 听课记录 由已知 abc是直角三角形 易知 cab 30 由于直线l与 o相切 由弦切角定理知 bcf 30 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 互动训练1 已知d c是以ab为直径的圆弧上的两点 若弧bc所对的圆周角为25 弧ad所对的圆周角为35 则弧dc所对的圆周角为 答案 30 或80 解析 如上图所示 d c的位置有两种可能 c d两点在直径ab的同侧或异侧 当c d在ab同侧时 boc 50 aod 70 doc 60 则dc所对的圆周角为30 当c d在ab异侧时 可得 doc 160 则dc所对的圆周角为80 题型二圆内接四边形问题 例2如图 已知ap是 o的切线 p为切点 ac是 o的割线 与 o交于b c两点 圆心o在 pac的内部 点m是bc的中点 1 证明 a p o m四点共圆 2 求 oam apm的大小 思路分析 要证a p o m四点共圆 可考虑四边形apom的对角互补 根据四点共圆 同弧所对的圆周角相等 进行等量代换 进而求出 oam apm的大小 听课记录 1 连接op om 因为ap与 o相切于点p 所以op ap 因为m是 o的弦bc的中点 所以om bc 于是 opa oma 180 由圆心o在 pac的内部 可知四边形apom的对角互补 所以a p o m四点共圆 2 由 1 得a p o m四点共圆 所以 oam opm 由 1 得op ap 由圆心o在 pac的内部 可知 opm apm 90 所以 oam apm 90 1 证明四点共圆的方法 利用定理 若一个四边形的对角互补 则四点共圆 2 圆内接四边形的重要结论有 1 内接于圆的平行四边形是矩形 2 内接于圆的菱形是正方形 3 内接于圆的梯形是等腰梯形 题型三相交弦 切割线定理的应用 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征 另一方面在与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐相应部分 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时就要想到切割线定理 互动训练3 如图 已知 o的割线pab交 o于a b两点 割线pcd经过圆心 若pa 3 ab 4 po 5 求 o的半径 例4 2010 江苏卷 ab是圆o的直径 d为圆o上一点 过d作圆o的切线交ab的延长线于点c 若da dc 求证 ab 2bc 证明 连结od bd 因为ab是圆o的直径 所以 adb 90 ab 2ob 因为dc是圆o的切线 所以 cdo 90 又因为d