高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（A）9(A)4课件.ppt

基础知识一 空间角空间中的角包括两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角等 这些角都是通过两条射线所成的角来定义的 因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广 三种角的计算方法 都是转化为平面内线与线所成的角来计算的 确切地说 是 化归 到一个三角形中 通过解三角形求其大小 由于引入了空间向量 三种角的计算除以上方法外 还可考虑采用向量方法进行处理 二 三种角的概念 取值范围及作法 1 异面直线所成的角 在空间取一点o 过o点分别作两异面直线的线所成的叫做两条异面直线所成的角 其取值范围为 0 作法 平移法 2 直线和平面所成的角 如果直线平行平面或在平面内 则它和平面所成的角的大小为 如果直线垂直于平面 则它和平面所成的角的大小为 如果直线是平面的斜线 则它和它在平面内的所成的角 称之为直线和平面所成的角 因此 直线和平面所成角的取值范围是 0 平行 锐角或直角 0 射影 锐 作法 几何法 引垂线 找垂足 连接垂足 斜足得射影 温馨提示利用几何法求线面角时 可过斜线上一点作已知平面的垂线 若垂足不好作出 则可借助垂面 3 二面角的平面角 从一条直线出发的两个组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上一点为端点 在两个面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 其取值范围为 0 半平面 任意 垂直于棱 作二面角的平面角的常用方法有 定义法 根据定义 以棱上任一点为端点 则形成二面角的平面角 三垂线法 从二面角一个面内某个特殊点p 于是 pba 或其补角 是二面角的平面角 分别 在两个面内作垂直于棱的两条射线 作另 一个面的垂线 过垂足a作二面角棱的垂线 垂足为b 连结pb 由三垂线定理得pb与棱垂直 垂面法 过二面角的棱上一点作平面与棱垂直 分别与两个面的交线 构成二面角的平面角 常用面积的射影定理来求二面角 即s cos s射 它的优点是不必作出二面角的平面角 归纳拓展 1 空间角的计算步骤 一找 作 二证 三计算 2 特别注意三种空间角的取值范围 易错知识一 找错平面角致误1 如图是三个全等的矩形构成的空间图形 d为ac的中点 若ab1 bc1 求二面角d bc1 c的大小 错解 设bc1 b1c o 连结do 则od ab1 因为ab1 bc1 所以od bc1 而oc是od在平面b1bcc1内的射影 所以oc bc1 故 doc为所求二面角的平面角 所以b1bcc1为正方形 分析 把oc当成od在平面b1bcc1内的射影 从而找错了平面角 正解 设bc1 b1c o 连结od 因为ab1 od ab1 bc1 所以od bc1 因为bb1 bc bb1 ab ab bc b 所以b1b 平面abc 所以平面abc 平面b1bcc1 过d作de bc于e 则de 平面b1bc1c 连结oe 由三垂线定理的逆定理得oe bc1 所以 doe为二面角d bc1 c的平面角 设ab bc ac 2a 取bc的中点f 连结af of 故af易知of bc 在 boe中 所以 doe 45 故二面角d bc1 c的大小为45 二 考虑问题不全面导致错误2 a b是所成角为80 的异面直线 过空间一点p作直线l 1 使l与a b所成的角均为80 这样的直线l一共有条 2 若l与a b所成的角均为50 这样的直线l一共有条 4 3 回归教材1 2009 湖北黄冈一模 设直线与平面所成角的大小范围为集合p 二面角的平面角大小范围为集合q 异面直线所成角的大小范围为集合r 则p q r的关系为 a r p qb r p qc p r qd r p q解析 因为p 0 q 0 r 0 所以r p q 故选b 答案 b 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线bc1和b1d1所成的角为 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 连接ad1 ab1 ab綊a1b1綊c1d1 四边形abc1d1为平行四边形 ad1 bc1 ad1b1就是bc1和b1d1所成的角或其补角 在 ab1d1中 ad1 b1d1 ab1 ad1b1 60 bc1和b1d1所成的角为60 答案 c 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 bc1与截面bb1d1d所成的角是 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 连结a1c1 交b1d1于o1 则b1d1 a1c1 又bb1 a1c1 a1c1 平面bb1d1d 连结o1b 则 c1bo1就是所要求的线面角 设正方体棱长为1 答案 a 4 下面所给出的二面角的平面角的几种作法 如图 1 在棱a上任取一点o 过o点分别在半平面 和半平面 内作oa a ob a 得 aob为所求 如图 2 在棱a上任取一点o 过o点在 内作oa a 在oa上任取一点a 异于o 作ab 于b 连结ob得 aob为所求 如图 3 在棱a上任取一点o 过o点作平面 a 设平面 分别与 相交于oa ob 则 aob为所求能正确地作出二面角的平面角的是 a b 只有 c 和 d 和 解析 正确 这是用定义法作二面角的平面角 错误 这是用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的重要方法 但要注意 上述作法 只对二面角小于90 时成立 正确 这是利用作棱的截面得到二面角的平面角的方法 故选c 答案 c 5 教材改编题 下列说法正确的是 a 若直线l1 l2和平面 所成的角相等 则l1 l2b 若直线l1和l2平行 则l1 l2和平面 所成的角相等c 若直线l1和l2相交 则l1 l2和平面 所成的角必不相等d 若直线l1 l2和平面 所成的角不相等 则l1与l2也可平行解析 对于a 可举例 由三腿凳知a不正确 对于b 分别在l1 l2上各取一点作 的垂线 则两垂线平行 由等角定理可知正确 对于c 可由a中例子知不正确 对于d 由b知 找等价命题 不正确 答案 b 例1 正三棱柱abc a1b1c1中 若ab bb1 求异面直线ab1与c1b所成角的大小 分析 可用平移法 构造三角形求解 解答 解法一 如图 连结b1c交c1b于o 取ac中点d 连结do bd 则do ab1 bod即为所求角或其补角 do2 bo2 bd2 do bo 即ab1 c1b ab1与c1b所成角的大小等于90 解法二 如图 分别延长正三棱柱abc a1b1c1三条侧棱a1a b1b c1c至a2 b2 c2 使a1a aa2 b1b bb2 c1c cc2 连结a2b2 b2c2 a2c2 则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱 连结a2b a2c1 在矩形a1a2b2b1中 a2b ab1 a2bc1或其补角即为所求 a2b2 bc a2c ab1与c1b所成角的大小等于90 方法技巧 求异面直线的夹角有两种方法 几何法和向量法 利用几何法 平移法 求解时 可过线段的端点或中点作平行线 有时还可选择空间一点 确定点 作两条直线的平行线 利用向量法求解时可利用向量的线性运算 也可通过建系求解 2009 全国 5 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab e为aa1中点 则异面直线be与cd1所成角的余弦值为 答案 c 解析 连结a1b 则有a1b cd1 a1be就是异面直线be与cd1所成角 在 abe中 ab 1 ae a1e 1 be a1e 1 a1b 由余弦定理可知 已知正四棱锥s abcd的侧棱长与底面边长都相等 e是sb的中点 则ae sd所成的角的余弦值为 意图 本小题考查了异面直线所成角的求法 求异面直线所成的角 一般是过其中一条异面直线上的一点 作另一条异面直线的平行线 将所求角放在三角形中求解 答案 c 解析 如图 连结bd 取bd中点o 连结eo 则eo sd aeo为异面直线ae与sd所成的角 设正四棱锥的棱长与底面边长为a 则ae 总结评述 求异面直线所成的角 一般总是作其中一条直线或两条直线的平行线 平移成相交 放在一个三角形中去求 基本思想有时往往是解题的最佳思想 可以很快的帮你找到解题思路 例2 2009 北京 16 如图 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 1 求证 平面aec 平面pdb 2 当pd ab且e为pb的中点时 求ae与平面pdb所成的角的大小 解析 1 四边形abcd是正方形 ac bd pd 底面abcd pd ac ac 平面pdb 平面aec 平面pdb 2 设ac bd o 连结oe 由 1 知ac 平面pdb于o aeo为ae与平面pdb所成的角 o e分别为db pb的中点 oe pd oe 又 pd 底面abcd oe 底面abcd oe ao 在rt aoe中 aeo 45 即ae与平面pdb所成的角为45 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍 则侧棱与底面所成角的余弦值等于 答案 a解析 解法一 设正三棱锥的底面边长为a 则侧棱长为2a o为底面中心 oa为 abc外切圆半径 侧棱与底面所成的角为 sao的余弦值为故选a 解法二 设正三棱锥的底面边长为a 则侧棱长为2a o为底面中心 sao为sa与平面abc所成的角 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 则ab1与底面abc所成角的正弦值等于 答案 b 解析 设棱柱的侧棱与底面边长均为a o为 abc的中心 如图 连接ao 则ao a1o 平面abc a1o 又 在三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 平面abc 点b1到平面abc的距离连接ab1 a1b bo 设a1b与ab1交点为h 在rt a1bd中 a1b a 四边形aa1b1b为菱形 a1h ab1 总结评述 本题以三棱柱为载体 考查了线面角的求法以及空间想象能力 本题求解时 不易作出直线ab1和平面abc所成的角 虽然能够过b1作平面abc的垂线 但垂足的位置不易确定 但由于a1b1 平面abc 因此点a到平面abc的距离也就是点b1到平面abc的距离 这样点b1到平面abc的距离可求 因此只需求出ab1的长度即可 例3 2009 全国 19 如图 四棱锥s abcd中 底面abcd为矩形 sd 底面abcd ad dc sd 2 点m在侧棱sc上 abm 60 1 求证 m是侧棱sc的中点 2 求二面角s am b的大小 分析 本题主要考查空间中的线面 面面关系及求解二面角大小的能力 空间想象能力 解析 1 证明 作me cd交sd于点e 则me ab me 平面sad 连接ae 则四边形abme为直角梯形 作mf ab 垂足为f 则四边形afme为矩形 所以m为侧棱sc的中点 2 解 mb 2 又 abm 60 ab 2 所以 abm为等边三角形又由 1 知m为sc中点 sm sa am 2 故sa2 sm2 am2 sma 90 取am中点g 连接bg 取sa中点h 连接gh 则bg am gh am 由此知 bgh为二面角s am b的平面角 连接bh 在 bgh中 若正三棱锥的侧面都是直角三角形 那么侧面与底面所成的角等于 答案 c 解析 方法一 依三垂线定理可作出二面角的平面角 如右图 设ab a 2009 北京西城一模 如图所示 在四棱锥p abc中 底面abcd是直角梯形 bcd 90 ab cd 又ab bc pc 1 pb cd 2 ab pc 1 求证 pc 平面abcd 2 求pa与平面abcd所成角的大小 3 求二面角b pd c的大小 解析 1 证明 在 pbc中 bc pc 1 pb bc2 pc2 pb2 pcb 90 即pc bc ab pc ab bc b pc 平面abcd 2 解 如图 连结ac 由 1 知pc 平面abcd ac为pa在平面abcd内的射影 pac为pa与平面abcd所成的角 在 abc中 abc 90 ab bc 1 pa