高考数学一轮复习 第10单元第64讲 圆锥曲线的综合应用课件 理 湘教版.ppt

1 第64讲圆锥曲线的综合应用 2 掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题 定点与定值问题 参变数取值范围问题的基本思想与方法 培养并提升运算能力和思维能力 3 1 已知 r 则不论 取何值 曲线c x2 x y 1 0恒过定点 d a 0 1 b 1 1 c 1 0 d 1 1 由 x2 x y 1 0 得 x2 y x 1 0 x2 y 0 x 1x 1 0y 1 可知不论 取何值 曲线c过定点 1 1 依题设 即 解析 4 b 解析 5 b 解析 6 7 4 双曲线x2 y2 4上一点p x0 y0 在双曲线的一条渐近线上的射影为q 已知o为坐标原点 则 poq的面积为定值 1 如图 双曲线x2 y2 4的两条渐近线为y x 即x y 0 又 pq pr 所以s poq pq pr 1 解析 8 1 基本概念在圆锥曲线中 还有一类曲线系方程 对其参数取不同值时 曲线本身的性质不变 或形态发生某些变化 但其某些固有的共同性质始终保持着 这就是我们所指的定值问题 而当某参数取不同值时 某几何量达到最大或最小 这就是我们指的最值问题 曲线遵循某种条件时 参数有相应的允许取值范围 即我们指的参变数取值范围问题 9 2 基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体 以函数 不等式 导数等知识为背景 综合解决实际问题 其常用方法有两种 1 代数法 引入参变量 通过圆锥曲线的性质 及曲线与曲线的交点理论 韦达定理 方程思想等 用变量表示 计算 最值与定值问题 再用函数思想 不等式方法得到最值 定值 10 2 几何法 若问题的条件和结论能明显的体现几何特征 利用图形性质来解决最值与定值问题 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题 这类问题在题目中往往没有给出不等关系 需要我们去寻找 对于圆锥曲线的参数的取值范围问题 解法通常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 11 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 如双曲线的范围 直线与圆锥曲线相交时 0等 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 12 题型一定点 定值问题 已知a 1 0 b 1 0 p是平面上一动点 且满足 1 求点p的轨迹c的方程 2 已知点m m 2 在曲线c上 过点m作直线l1 l2与c交于d e两点 且l1 l2的斜率k1 k2满足k1k2 2 求证 直线de过定点 并求此定点 例1 13 1 设p x y 则 1 x y 1 x y 2 0 2 0 因为 所以 2 2 x 1 即y2 4x 所以点p的轨迹c的方程为y2 4x 2 证明 由 1 知m 1 2 设d y1 e y2 所以k1k2 2 整理得 y1 2 y2 2 8 解析 14 kde k 所以y1 y2 由 知y1y2 4 所以直线de的方程为y y1 x 整理得4x y1 y2 y y1y2 0 即4x y 4 0 即 x 1 k y 2 0 所以直线de过定点 1 2 15 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量 将题设转化为坐标关系式 然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时 坐标关系式恒成立的条件 而获得定点坐标 评析 16 如图 f1 3 0 f2 3 0 是双曲线c的两焦点 其一条渐近线方程为y x a1 a2是双曲线c的两个顶点 点p是双曲线c右支上异于a2的一动点 直线a1p a2p交直线x 分别于m n两点 1 求双曲线c的方程 2 求证 是定值 素材1 17 1 由已知 c 3 又c2 a2 b2 所以a 2 b 5 所求双曲线c的方程为 1 2 证明 设p的坐标为 x0 y0 m n的纵坐标分别为y1 y2 因为a1 2 0 a2 2 0 所以 x0 2 y0 x0 2 y0 y1 y2 解析 18 因为与共线 所以 x0 2 y1 y0 y1 同理y2 因为 y1 y2 所以 y1y2 10 为定值 19 设f1 f2分别是椭圆 y2 1的左 右焦点 1 若p是该椭圆上的一个动点 求的最大值与最小值 2 设过定点m 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点a b 且 aob为锐角 其中o为坐标原点 求直线l的斜率k的取值范围 例2 题型二最值与范围问题 20 1 由方程易知a 2 b 1 c 所以f1 0 f2 0 设p x y 则 x y x y x2 y2 3 x2 1 3 3x2 8 因为x 2 2 所以0 x2 故 解析 21 2 显然直线x 0不满足题设条件 可设直线l y kx 2 a x1 y1 b x2 y2 y kx 2 y2 1 消去y 整理得 k2 x2 4kx 3 0 所以x1 x2 x1x2 由 4k 2 4 k2 3 4k2 3 0 解得k 或k 联立方程组 22 又0 0 得 0 所以 x1x2 y1y2 0 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4 4 所以 0 即k2 4 结合 知 k的取值范围是 2 2 23 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题 解决此类问题 一般有两个思路 1 构造关于所求量的不等式 通过解不等式来获得问题的解 如本题第 2 问 2 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来获得问题的解 如本题第 1 问 在解题的过程中 一定要深刻挖掘题目中的隐含条件 如判别式大于零等 评析 24 素材2 解析 25 26 题型三圆锥曲线综合问题 例3 27 解析 28 评析 29 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 今有抛物线y2 2px p 0 一光源在点m 4 处 由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点p 折射后又射向抛物线上的点q 30 再折射后 又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 途中遇到直线l 2x 4y 17 0上的点n 再折射后又射回点m 1 设p q两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 证明 y1y2 p2 2 求抛物线的方程 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点m关于pn所在的直线对称 若存在 请求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 31 解析 1 证明 由抛物线的光学性质及题意知 光线pq必过抛物线的焦点f 0 设直线pq的方程为y k x 由 式得x y 将其代入抛物线的方程y2 2px中 整理得y2 y p2 0 由韦达定理得y1y2 p2 当直线pq的倾斜角为90 时 将x 代入抛物线方程得y p 同样得到y1y2 p2 32 2 设光线qn经直线l反射后又射向m点 所以直线mn与直线qn关于直线l对称 设点m 4 关于l的对称点为m x y 1x 17 0y 1 则 解得 33 直线qn的方程为y 1 q点的纵坐标为y2 1 由题设p点的纵坐标为y1 4 由 1 知y1y2 p2 则4 1 p2得p 2 故所求抛物线的方程为y2 4x 3 将y 4代入y2 4x得x 4 故p点的坐标为 4 4 将y 1代入直线l的方程2x 4y 17 0 得x 故n点的坐标为 1 由p n两点坐标得直线pn的方程为2x y 12 0 34 设m点关于直线np的对称点m1 x1 y1 2 1x1 12 0y1 1 即m1 1 的坐标是抛物线方程y2 4x的解 故抛物线上存在一点 1 与点m关于直线pn对称 则 解得 35 36 1 若探究直线或曲线过定点 则直线或曲线的表示一定含有参变数 即直线系或曲线系 可将其方程变式为f x y g x y 0 其中 为参变数 由f x y 0g x y 0