线性代数 卢刚版(高教第二版）课后答案习题四答案.doc

1 习题四(A)1.解:(1) 得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数)得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).得特征值对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为不全为零的任意常数)对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,所以,的属于特征值的全部特征向量为,(为任意常数).2.解:得特征值(重),解齐次线性方程组 ,可知可取任一向量,特征向量为任一非零维列向量.得特征值(重),解齐次线性方程组 ,可知可取任一向量,特征向量为任一非零维列向量.3.解:4.解:设是的对应于特征值的特征向量,即,则即,从而,可得,解之得,或5.证明: 设是的对应于特征值的特征向量(1) 即是的一个特征值.(2) 当时,即是的一个特征值.设是矩阵的一个特征值,则,于是即是矩阵的一个特征值.(3)可逆,故又即是矩阵的一个特征值(4) 可得,即是矩阵的一个特征值,(5) 即是矩阵的一个特征值.6.证明: 设则7. 证明：（反证法）假设是的属于特征值的特征向量，则.，.，线性无关.于是，.，矛盾.8.证明:(1)(2)(3),从而.(4) ,从而.9.证明: 10.解:均可对角化(1)取(2)取(3)取(4)取11.解:得对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,从而不可对角化.可得, ,从而不可对角化.可得,对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系,对于,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系令,可得. 可得,从而不可对角化.12.解:矩阵是对角矩阵,而各选项中的矩阵与有相同的特征值,故只需判断各矩阵能否对角化.（1）显然，,从而与相似（2）,故矩阵不可对角化,从而不可能与相似.(3) ,故矩阵可对角化,从而与相似(4) ,故矩阵不可对角化,从而不可能与相似13.解:(1) 从而解得(2) ,有相同的特征值,从而的特征值为当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系.当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系当时,解对应的齐次线性方程组,得基础解系令,则14.解: 可得 当时,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系当时,解对应的齐次线性方程组,可得它的一个基础解系令则则 15.解:令,则,其中16.证明: 从而存在可逆矩阵所以.17.解:(1) 可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系将向量单位化可得令,则可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系.对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系把向量正交化,有再将向量单位化,有令,则.可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系将向量单位化可得令则可得对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系对于,解对应的齐次线性方程组,得其基础解系把向量正交化,有将向量单位化可得令, 则.18.解:(1)设与向量正交的向量为,则,解此线性方程组,可得其基础解系从而对应于特征值的特征向量为.(2)将单位化:令则为正交矩阵,且,所以.19.解:由于中各行元素之和小于,由定理4.17, 的所