《高等数学教学课件》第十章.ppt

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重积分 第一节二重积分的概念与性质 二重积分的引入二重积分的概念二重积分的性质 特点 平顶 特点 曲顶 2 曲顶柱体的体积 一 问题的提出 1 平顶柱体的体积 二 二重积分的概念 1 什么是曲顶柱体 显然 平顶柱体的体积 底面积 高 而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算 那么怎样来计算呢 以xoy平面的有界闭区域D为底 侧面是以D的边界曲线C作准线而母线平行于 轴的柱面 顶是曲面 这里 且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体 如上图 2 其体积V怎样计算 由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下面的解决办法 用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域 分别以各小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体 当这些小闭区域的直径很小时 这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体 在每个 中各任取一点 sigma 西格玛 小写 大写 为高 底为 小平顶柱体体积为 这n个平顶柱体体积之和 n个小闭区域的直径中最大值记作 当 0时 取和的极限存在 所得的极限就定义为所求曲顶柱体的体积 综合起来 分割 近似 求和 取极限 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 步骤如下 3 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 4 取极限 曲顶柱体的体积 1 先分割曲顶柱体的底 并取典型小区域 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 小块将其近似看作均匀薄片 所有小块质量之和近似等于薄片总质量 极限 3 二重积分的定义 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 3 几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体体积的负值 5 面积元素为 可写为 性质 当为常数时 性质 二重积分与定积分有类似的性质 三 二重积分的性质 性质 对区域具有可加性 性质 若为D的面积 性质 若在D上 则有 例1 比较下列积分的大小 其中D由x轴 y轴与直线所围成区域 解 从而 由已知得积分区域D 性质 二重积分估值不等式 解 2 例3 估计下列积分之值 解 D的面积为 由于 积分性质5 即 1 96 I 2 性质 二重积分中值定理 三 二重积分的换元法 第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 一 利用直角坐标计算二重积分 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 则面积元素为 当函数f x y 在区域D上连续时 我们可以用特定的分割来解决定积分的计算 用平面x x0截立体 截得A x0 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 得 注意D的特殊之处 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 X 型 X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 如果积分区域为 Y 型 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 对非X Y型区域 解 积分区域如图 例2 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 例3 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 例4 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 解 5 例6 解 X 型 解 7 例8 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 对应有 二 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 在 内取点 及射线 常数 分划区域D为 即 设 则 特别 对 常见极坐标系下圆的方程 解 积分区域如图 原积分 1 解 积分区域如图 原积分 2 例3 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 注 利用例6可