高三立体几何讲义.doc

立体几何讲义一、空间几何体图3图4图5球与正方体的组合体问题(1)正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例1某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是().A.28+6B.30+6 C.56+12D.60+12例2.（1） 在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.(2)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为_。二、平行关系例3. 如图,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.证明:MN平面AACC ; 三、垂直关系例4.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDCCBADC1A1（2）. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.证明ABA1C;如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()证明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.（3）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)练习题1. 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.2如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为_cm2.3. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A) (B) (C) 4 (D) 84一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A2 B3 C6 D5. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高(1)证明：平面PAC平面PBD； (2) )若AB，APBADB60,求面APD与面BPC所成二面角的余弦值。ABCD6. 如图：四棱锥中，,，证明: 平面 例题及练习答案例1：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为: 此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=(2+3)4+45+4(2+3)+2=30+6.例2. （1） 解：由已知可得、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线 （2）解正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为。例4（2）【答案】()取AB中点E,连结CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), =, 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 练习1. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。2. 解：由三视图可知，此几何体是一个以AA2，AD4，AB2为棱的长方体被平面ACB截去一个角后得到的，在ACB中，因为ACBC2，BA2，所以SACB26，故几何体表面积为2422242222636.3. 解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.4. 解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=；答案D。怎么设变量，解出来？5. 解析(1)因为PH是四棱锥PABCD的高，所以ACPH.又ACBD，PH，BD都在平面PBD内，且PHBDH，所以AC平面PBD，故平面PAC平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，