2013考研数学导学班辅导讲义-汤家凤【未来教育】.doc

未来教育考试网/2013考研数学导学班辅导讲义线性代数部分矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义形如，称为矩阵，记为。特殊矩阵有（1）零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。（2）方阵行数和列数都相等的矩阵称为方阵。（3）单位矩阵主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。（4）对称矩阵元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。2、同型矩阵行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：，则。（2）数与矩阵之积：。（3）矩阵与矩阵之积：设，则，其中（）【注解】（1）不一定有或。（2）矩阵乘法没有交换律。（3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。（4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。二、方程组的矩阵形式及解的概况方程组的基本形式为 （1）称（1）为齐次线性方程组。 （2）称（2）为非齐线性方程组。令 ，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式： （1）及 （2）对方程组（1）：【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。对方程组（2）：【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。【例题3】讨论方程组解的情况，并分析原因。三、矩阵问题的产生初一数学问题：解一元一次方程情形一：当时，两边同时乘以得，于是；情形二：当时，方程无解；情形三：当时，方程有无数个解。线性方程组的类似问题：讨论方程组的解情形一：是阶方阵，且存在，使得由两边左乘得，于是；情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得方程组是否有解及解的情况；情形三：是矩阵，且方程组是否有解及解的情况。【注解】（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题矩阵的逆阵。（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题矩阵的秩。四、矩阵两大核心为题（一）逆阵1、定义设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。2、两个问题【问题1】 给定一个阶矩阵，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？【问题2】 若阶矩阵可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？3、矩阵可逆充分必要条件定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。4、求矩阵逆阵的方法方法一：伴随矩阵法（略）方法二：初等变换法第一步 方程组的三种同解变形（1）对调两个方程的位置方程组的解不变；（2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；（3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。第二步 矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行同乘以一个非零常数；（3）矩阵某行的倍数加到另一行。第三步 三种初等矩阵（1）单位矩阵的行与行对调或者列与列对调所得的矩阵。性质：1）； 2）或者；3）为将的行与行对调所得的矩阵，为将的列与列对调所得的矩阵。（2）单位矩阵的行乘以或单位矩阵的列乘以。性质：1）； 2）；3）为将的行乘以非零常数所得到的矩阵，为将的列乘以非零常数所得到的矩阵。（3）单位矩阵的行的倍加到行或者单位矩阵的列的倍加到列所得到的矩阵。性质： 1）； 2）；3）为将的行的倍加到行所得到的矩阵，为将的列的倍加到列所得到的矩阵。第四步 三个问题【问题1】设为阶可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵？【问题2】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为？【问题3】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等变换化为？第五步 初等变换法求逆阵及两个相关的定理定理（初等变换法求逆阵）设为阶可逆矩阵，则可以经过有限次初等行变换化为初等矩阵。（二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件）1、定义设为矩阵，若存在一个阶非零子式，但所有的阶子式（如果有）都是零，则称为的秩，记为。【注解】（1）任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。设为矩阵，则。（2）设为阶矩阵，若，则，称为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异等价。2、矩阵秩的求法将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。【注解】（1）的充分必要条件是。（2）的充分必要条件是。（3）的充分必要条件是至少有两行不成比例。（4）设，则。3、矩阵秩的性质（1）。（2）设为同型矩阵，则。（3），等价于。（4）设为矩阵，为矩阵，且，则。（5）设为矩阵，为阶可逆阵，为阶可逆阵，则有 。【矩阵秩例题】【例题1】设皆为三维列向量，证明：。【例题2】设为阶可逆阵，证明的逆阵是唯一的。【例题3】设为矩阵，为矩阵，其中，且，证明：。【例题4】设为阶矩阵，且，证明：。高等数学部分定积分理论一、定积分的产生背景1、曲边梯形的面积问题2、变速运动路程问题二、定积分的定义设为上的有界函数，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。【注解】（1）极限与区间的划分及的取法无关。（2），反之不对。（3）若一个函数可积，则。三、定积分基本理论定理1 设，令，则为的一个原函数，即。【注解】（1）连续函数一定存在原函数。（2）。（3）。【例题1】设连续，且，求。【例题2】设为连续函数，且，求。定理2 （牛顿莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。四、积分法1、换元积分法设，令，其中可导，且，其中，则。2、分部积分法设在上连续可导，则。五、定积分性质1、基本性质（1）。（2）。（3）。（4）。（5）设，则。推论1 设，则。推论2 。（6）设在上连续，且，则。（7）（积分中值定理）设，则存在，使得。2、定积分的特殊性质（1）对称区间上定积分性质1）设，则。2）设，且，则。3）设，且，则。（2）周期函数定积分性质设以为周期，则1），其中为任意常数。2）。（3）特殊区间上三角函数定积分性质1）设，则，特别地，且。2）。3）。4）设，则。【例题1】计算。【例题2】计算。【例题3】计算。第一讲 极限与连续一、定义1、函数的几个初等特性（1）奇偶性设函数的定义域关于原点对称，若，称为偶函数；若，称为奇函数。【例题1】 判断函数的奇偶性，并求其反函数。（2）周期性设的定义域为，若存在，使得对任意的，有且，称为周期函数。【例题2】讨论函数的周期性。（3）单调性设对任意的且，有，称在上为单调增函数，反之称为单调减函数。（4）有界性若存在，对任意的，有，称在上有界。2、极限（1）数列极限()若对任意的，总存在，当时，有 成立，称数列以为极限，记为。（2）函数当时的极限（）若对任意的，总存在，当时，有 成立，称为当时的极限，记为。（3）函数当时的极限（）若对任意的，存在，当时，有 成立，称为当时的极限，记为。（4）左右极限若，称为在处的左极限，记为；若，称为的右极限，记为，注意存在的充分必要条件是与都存在且相等。【注解】（1）函数在一点处的极限与函数在该点有无定义无关。（2）形如当时的极限一定分左右极限。若对，因为，所以极限不存在；又如，显然，故不存在。3、无穷小（1）无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次设，若，称为的高阶无穷小，记为；若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。【注解】（1）无穷小一般性质1）有限个无穷小之和、差、积为无穷小。2）有界函数与无穷小之积为无穷小。3）的充分必要条件是，其中。（2）等价无穷小性质1）；2）若，则；3）若，则；4）若且，则。（3）当时常用的等价无穷小1）；2）；3）。【例题3】计算极限。【例题4】计算极限。【例题5】计算极限。【例题6】计算极限。【例题7】计算极限。4、连续（1）函数在一点处连续的定义设在的邻域内有定义，若，称在处连续。【注解】在处连续的充分必要条件是。（2）函数在上连续的定义设在上有定义，在内点点连续，且，称在上连续。【注解】初等函数在其定义域上都连续。5、间断点及分类（1）设在处间断，且都存在，称为的第一类间断点。进一步地，若，称为的可去间断点；若，称为的跳跃间断点。（2）设在处间断，且至少一个不存在，称为的第二类间断点。【例题8】求函数的间断点及类型。【例题9】求函数的间断点及类型。【例题10】求函数的间断点及类型。二、极限有关性质（一）极限一般性质定理1（唯一性定理） 极限具有唯一性。定理2（保号性定理）（1）若，则存在，当时，。（2）设且，则。（二）极限的存在性质定理1 单调有界的数列必有极限。情形一：设单调增加，且存在，使得，则存在。情形二：设单调减少，且存在，使得，则存在。定理2（夹逼定理）（1）数列型：设，且，则。【例题11】计算。（2）函数型：设，且，则。三、重要极限与有关结论1、。记忆：（1）时，尤其（）； （2）时，。2、。记忆：单调增加收敛于。四、闭区间上连续函数的四大性质定理1 （最大值最小值定理）设，则在上取到最小值和最大值。定理2 （有界性定理） 设，则在上有界。定理3 （零点定理） 设，且，则存在，使得。定理4（1）设，对任意的，存在，使得，即位于最小值和最大值之间的任何值函数都可以取到。（2）设，且，不妨设，则对任意的，存在，使得，即位于左右端点函数值之间的任何值函数都能取到。【方法指导】设，若结论中存在，基本确定使用零点定理或介值定理，一般开区间用零点定理，闭区间用介值定理。【例题1】设，证明：存在，使得。【例题2】设，证明：对任意的，存在，使得 。【例题3】设，证明：对任意的及且，存在，使得第二讲 一元函数微分学基本理论一、基本概念1、导数设为定义于上的函数，若极限存在，称在处可导为在处的导数，记为或。【注解】（1）同时包括与。若存在，称此极限为在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为在点处的右导数，记为，在点处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（2）函数在处导数的等价定义。（3）若在处可导，则在处连续，反之不对。（4）取绝对值可保持连续性，不一定保持可导性。2、可微设为定义于上的函数，若，称在处可微，记，或者。【注解】（1）函数在一点可导与函数在一点可微等价。（2）。（3）若函数处处可导，则其微分为。二、求导数三大工具（一）基本公式1、。 2、，特别地。3、，特别地。 4、，特别地。5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。6、（1）； （2）； （3）； （4）。（二）求导四则运算法则1、。 2、。3、。 4、；5、。（三）复合函数求导链式运算法则设，都是可导函数，则可导，且。【注解】（1）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系设为二阶可导函数，且，为的反函数，则 ，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系， 。（2）设在处连续，若，则。三、求导基本类型（一）显函数求导数【例题1】设，求；【例题2】设，求；（二）参数方程确定的函数的导数设由确定，其中皆二阶可导，求及。【例题1】 设，求及。（三）隐函数求导数【例题1】 设，求。（四）分段函数求导数【例题1】设，求并讨论的连续性。【例题2】设，且存在，求。（五）高阶导数【例题1】，求。【例题2】设，求。第三讲 中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。2、函数在一点处导数情况讨论（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。显然不是的极值点。【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。【结论2】设可导函数在处取极值，则。二、一阶中值定理定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。【注解】（1）中值定理的等价形式为：，其中；，其中。（2）对端点有依赖性。（3）端点可以是变量，如，其中是介于与之间的的函数。定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得 。典型题型题型一：结论中含一个中值，不含，且导出之间差距为一阶【例题1】设，在内可导，证明：存在，使得。【例题2】设，在内可导，且，证明：存在，使得 。题型二：关于微分中值定理的惯性思维题【注解】对可导函数来说，若所研究问题中涉及三个或三个以上点时，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定