分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步 第十章计数原理 概率 随机变量及分布列 考纲点击 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 会用它们分析和解决一些简单的实际问题 1 从3名女同学2名男同学中选一人 主持本班的 勤俭节约 从我做起 主题班会 则不同的选法种数为 A 6B 5C 3D 2解析 从3名女同学2名男同学中选一人共分两类 选一名女生有3种方法 选一名男生有2种方法 故不同的选法种数为3 2 5种 答案 B 2 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 A 10种B 20种C 25种D 32种解析 每位同学都有2种不同的报名方法 故不同的报名方法有25 32种 答案 D 答案 D 4 书架上原来并排着5本不同的书 现要再插入3本不同的书 那么不同的插法共有 解析 将3本不同的书依次插入 分别为6 7 8种不同的插法 故将3本不同的书插到原来并排的5本不同的书中共有6 7 8 336种不同的排法 答案 336 5 如图用6种不同的颜色把图中A B C D四块区域分开 若相邻区域不能涂同一种颜色 则不同的涂法共有 种 解析 从A开始 有6种方法 B有5种 C有4种 D A同色1种 D A不同色3种 不同涂法有6 5 4 1 3 480种 答案 480 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m n 自主解答 以m的值为标准分类 分为五类 第一类 m 1时 使n m n有6种选择 第二类 m 2时 使n m n有5种选择 第三类 m 3时 使n m n有4种选择 第四类 m 4时 使n m n有3种选择 第五类 m 5时 使n m n有2种选择 共有6 5 4 3 2 20 种 方法 即有20个符合题意的椭圆 解 当m 2时 n 1 有1种选择 当m 3时 n 1 2 有2种选择 当m 4时 n 1 2 3 有3种选择 当m 5时 n 1 2 3 4 有4种选择 共有1 2 3 4 10种方法 即有10个符合题意的椭圆 若将 焦点在y轴 改为 焦点在x轴 呢 悟一法 利用分类加法计数原理解决问题应注意以下两点 1 所谓完成一件事有几类办法 指的就是完成这件事情的所有办法的一个分类 分类时 首先要根据问题的特点确定一个适合于它的一个分类标准 然后在这个标准下进行分类 2 分类时要注意满足一个基本要求 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 通一类 1 在所有的两位数中 个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 解 一个两位数由十位数字和个位数字构成 考虑一个满足条件的两位数 可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能 一个两位数的个位数字可以是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 把这样的两位数分成10类 1 当个位数字为0时 十位数字可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有9个满足条件的两位数 2 当个位数字为1时 十位数字 可以是2 3 4 5 6 7 8 9 有8个满足条件的两位数 3 当个位数字为2时 十位数字可以是3 4 5 6 7 8 9 有7个满足条件的两位数 以此类推 当个位数字分别是3 4 5 6 7 8 9时 满足条件的两位数分别有6 5 4 3 2 1 0个 由分类加法计数原理可知 满足条件的两位数共有9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45个 做一题 例2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 表示平面上的点 a b M 问 1 P可表示平面上多少个不同的点 2 P可表示平面上多少个第二象限的点 3 P可表示多少个不在直线y x上的点 自主解答 1 确定平面上的点P a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点共有6 6 36个 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a 0 所以有3种确定方法 第二步确定b 由于b 0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 3 点P a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合M中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 结合 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30 个 悟一法 应用分步乘法计数原理解决问题应注意以下两点 1 明确 完成的一件事 是什么事 必须要经过几步才能完成这件事 这几步的先后顺序怎样 2 只有每个步骤都完成了 才算完成了这件事 缺少任何一步 这件事都不可能完成 通一类 2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 若a b c M 则 1 y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数 2 y ax2 bx c可以表示多少个图像开口向上的二次函数 解 1 a的取值有5种情况 b的取值有6种情况 c的取值有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180个不同的二次函数 2 y ax2 bx c的开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72个图像开口向上的二次函数 例3 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 做一题 自主解答 法一 可分为两大步进行 先将四棱锥侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法计数原理即可得出结论 由题设 四棱锥S ABCD的顶点S A B所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当S A B染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若C染2 则D可染3或4或5 有3种染法 若C染4 则D可染3或5 有2种染法 若C染5 则D可染3或4 有2种染法 可见 当S A B已染好时 C D还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 法二 以S A B C D顺序分步染色 第一步 S点染色 有5种方法 第二步 A点染色 与S在同一条棱上 有4种方法 第三步 B点染色 与S A分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 C点染色 也有3种方法 但考虑到D点与S A C相邻 需要针对A与C是否同色进行分类 当A与C同色时 D点有3种染色方法 当A与C不同色时 因为C与S B也不同色 所以C点有2种染色方法 D点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 悟一法 在解决实际问题的过程中 并不一定是单一的分类或分步 而是可能同时应用两个计数原理 即分类时 每类的方法可能要运用分步完成 而分步时 每步的方法数可能会采取分类的思想求 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 通一类 3 2012 佛山模拟 对一个各边不等的凸五边形的各边染色 每条边可以染红 黄 蓝三种颜色中的一种 但是不允许相邻的边有相同的颜色 则不同的染色方法共有 种 解析 本题考查了分类计数原理和分步计数原理 在应用这两个原理时 注意要分清类和步 要充分体会分步和分类的意义 如图 染五条边总体进行分五步 染每一边时为一步 当染边1时有3种染法 则2有2种染法 当3与1同色时有1种染法 则4有2种 5有1种 此时染法总数为3 2 1 2 1 12 种 当3与1不同色时 3有1种 当4与1同色时 4有1种 5有2种 当4与1不同色时 4有1种 5有1种 则此时有3 2 1 1 2 1 1 18 种 综上由 可得染法的种数为30种 答案 30 热点分析 从近两年的高考试题来看 两个计数原理在高考中单独命题较少 一般与排列组合问题相结合 多为选择 填空题 重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用 考题印证 2011 北京高考 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 答案 14 1 5位同学站成一排准备照相的时候 有两位老师碰巧路过 同学们强烈要求与老师合影留念 如果5位同学顺序一定 那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为 A 6B 20C 30D 42 解析 因为五位学生已经排好 第一位老师站进去有6种选择 当第一位老师站好后 第二位老师站进去有7种选择 所以两位老师与学生站成一排的站法共有6 7 42种 答案 D 2 如果一条直线与一个平面平行 那么称此直线与平面构成一个 平行线面组 在一个长方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 平行线面组 的个数是 A 60B 48C 36D 24 解析 长方体的每一个面对应6个 平行线面组 共有6 6 36个 长方体的每一个对角面对应2个 平行线面组 共有6 2 12个 共有36 12 48个 答案 B 3 新学期开始 某校新招聘了6名教师 要把他们安排到3个宿舍去 每个宿舍两人 其中甲必须在一号宿舍 乙和丙均不能到三号宿舍 则不同的安排方法种数为 A 6B 9C 12D 18 答案 B 4 集合A含有5个元素 集合B含有3个元素 从A到B可有 个不同映射 解析 A中的任一元素在B中都有3种对应方法 且要完成一个映射应该使A中的每一个元素在B中都能找到唯一的元素与之对应 由乘法