多自由度体系的振动.ppt

1 3 3主振型的正交性和正则坐标 1 主振型的正交性设结构体系具有n个自由度 对于第s和第t个固有模态 由方程 得 2 3 3主振型的正交性和正则坐标 3 另一个正交关系式 振型的正交关系式 orthogonalityrelation 相对于质量矩阵 M 来说 不同频率相应的主振型是彼此正交的 主振型第一正交条件 3 3主振型的正交性和正则坐标 两个正交关系式是建立在s t基础的 相对于刚度矩阵 K 来说 不同频率相应的主振型是彼此正交的 主振型第二正交条件 4 Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量 generalizedmass 和广义刚度 generalizedstiffness 对于s t的情形 令 3 3主振型的正交性和正则坐标 每个主振型都有相应的广义质量和广义刚度 5 3 3主振型的正交性和正则坐标 可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自由振频率 由广义刚度和广义质量求频率的公式 是单自由度体系频率公式的推广 6 例 图示体系的刚度矩阵 K 和质量矩阵 M 为 解 1 演算第一正交性 三个主振型分别如下 演算正交性 3 3主振型的正交性和正则坐标 7 2 演算第二正交性 同理 同理 3 3主振型的正交性和正则坐标 8 对任意一个位移向量 y 将其写成主振型的线性组合 将左乘方程的两边 3 3主振型的正交性和正则坐标 可将任一位移按主振型展开 由主振型的正交性 9 主振型正交的物理意义 1 每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功 其数学表达式为 3 3主振型的正交性和正则坐标 10 3 各个主振型都能够单独出现 彼此间线性无关 主振型正交的物理意义 2 当一体系只按某一主振型振动时 不会激起其他主振型的振动 3 3主振型的正交性和正则坐标 1 每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功 其数学表达式为 11 2 重根时的正交性问题 3 3主振型的正交性和正则坐标 设频率方程具有一个二重根 即两个主振型和对应的固有频率彼此相等 记为 而其他频率都彼此不同 a b 是一个与频率对应的主振型向量 12 取一个由和组成的新的主振型 即 3 3主振型的正交性和正则坐标 如果两个主振型和彼此不正交 即 和就是两个彼此正交的主振型 13 由于与其余不相等 与对应的任意一个主振型都与其余频率的主振型 i 3 4 n 彼此正交 3 3主振型的正交性和正则坐标 在具有n个自由度的体系中 即使在频率方程中出现两重根 仍然可以选到n个主振型 使它们彼此正交 n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型 14 对于n个自由度体系 将n个彼此无关的主振型向量组成一个方阵 3 主振型矩阵和正则坐标 称为主振型矩阵 modalmatrix 3 3主振型的正交性和正则坐标 15 利用主振型矩阵和主振型的正交性 可以得到 3 3主振型的正交性和正则坐标 16 为广义刚度 对角矩阵称为广义刚度矩阵 对角矩阵称为广义质量矩阵 3 3主振型的正交性和正则坐标 矩阵中的非对角元素全为零 对角线的元素就是广义质量 17 n个自由度体系的振动方程 质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 都是对角矩阵 方程组就是n个独立的方程 每个方程只有一个未知量 相当于求解n个单自由度体系的振动问题 3 3主振型的正交性和正则坐标 质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 不是对角矩阵 方程是一个耦合方程 18 设一个坐标变换 3 3主振型的正交性和正则坐标 为主振型矩阵 为质点位移向量 称为几何坐标 称为正则坐标 normalizedcoordinate 向量 将坐标变换式代入振动方程 并左乘 得 19 利用广义质量矩阵和广义刚度矩阵的定义 有 利用正则变换 可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一元方程 将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化为n个独立的单自由度体系的振动问题 计算工作大为简化 解耦条件 1 线性结构 2 M K 具有正交性 3 3主振型的正交性和正则坐标 20 1 柔度法 忽略阻尼 因为在简谐荷载作用下 荷载频率在共振区之外 阻尼影响很小 在共振区之内时 阻尼虽对振幅影响很大 但都能反映共振现象 2 动位移的解答及讨论通解包含两部分 齐次解对应按自振频率振动的自由振动 由于阻尼而很快消失 特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动 1 建立振动微分方程 各简谐荷载频率相同相位相同 否则用其他方法 3 4两个自由度体系的强迫振动 21 n个自由度体系 存在n个可能的共振点 设纯强迫振动解答为 代入 22 3 动内力幅值的计算 荷载 位移 惯性力同频 同相 同时达到最大 位移达到最大时 内力也达到最大 求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构 用静力法求出内力 即为动内力幅值 或用叠加公式求 由Y1 Y2值可求得位移和惯性力 惯性力的幅值为 代入位移幅值方程 可得求惯性力幅值的方程 直接求惯性力幅值 23 例 图示简支梁EI 常数 0 75 1求动位移幅值和动弯矩幅值 解 1 求柔度系数 2 作MP图 求 1P 2P 24 5 计算动内力 1 4119P 0 2689P 0 8740P Qd图 0 3530Pl 0 2180Pl Md图 6 比较动力系数 因此 多自由度体系没有统一的动力系数 25 2 刚度法 在平稳阶段 各质点也作简谐振动 Y1 D1 D0 Y2 D2 D0 求得位移幅值Y1 Y2 计算惯性力幅值I1 m1 2Y1I2 m2 2Y2 将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上 按静力计算方法求得动内力幅值 26 求图示刚架楼面处的侧移幅值 惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值 解 1 求刚度系数 2 求位移幅值 27 3 求惯性力幅值 位移幅值 0 9P 0 9P A 28 例 质量集中在楼层上m1 m2 层间侧移刚度为k1 k2 解 荷载幅值 P1 P P2 0 求刚度系数 k11 k1 k2 k21 k2 k22 k2 k12 k2 当m1 m2 m k1 k2 k 29 两个质点的位移动力系数不同 当 趋于无穷大 可见在两个自由度体系中 在两种情况下可能出现共振 也有例外情况 30 如图示对称结构在对称荷载作用下 与 2相应的振型是 1 当 2 D0 0 也有 不会趋于无穷大 不发生共振 共振区只有一个 对称体系在对称荷载作用下时 只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振 当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振 同理可知 对称体系在反对称荷载作用下时 只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振 31 yst1 yst2 P k 荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1 yst2 P k 层间剪力 Qst1 P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值 由此可见 在多自由度体系中 没有一个统一的动力系数 层间动剪力 32 这说明在图a结构上 适当加以m2 k2系统 可以消除m1的振动 动力吸振器原理 吸振器不能盲目设置 必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置 a图 33 例 如图示梁中点放一电动机 重2500N 电动机使梁中点产生的静位移为1cm 转速为300r min 产生的动荷载幅值P 1kN问 1 应加动力吸振器吗 2 设计吸振器 许可位移为1cm 解 1 频率比在共振区之内应设置吸振器 2 34 多自由度体系 无阻尼强迫振动微分方程为 3 5多自由度体系的强迫振动 1 无阻尼情形 设正则变换 左乘第i阶模态的主振型向量的转置 35 广义质量Mi 广义刚度Ki和广义荷载Pi t 由主振型的正交性可知 3 5多自由度体系的强迫振动 36 对于结构的每一个主振型 可以用上述方法求得一个独立的单自由度方程 采用正则坐标变换将质量和刚度矩阵中有非对角项耦合的n个联立方程组转换成n个独立的正则坐标方程 3 5多自由度体系的强迫振动 37 振型叠加法 确定结构体系动力响应 1 求解每一个正则坐标的响应 2 按式叠加 得到用原始坐标表示的响应 这种方法称为振型叠加法 modalanalysis 3 5多自由度体系的强迫振动 38 方程的全解为 只有物理坐标的初始条件 进行适当的数学处理 一般初始条件 3 5多自由度体系的强迫振动 需要正则坐标的初始值和 39 两边左乘 3 5多自由度体系的强迫振动 40 n个自由度体系 在粘滞阻尼的影响下 振动微分方程为 2 有阻尼情形 3 5多自由度体系的强迫振动 Cij表示质量点i单位速度在点j所产生的阻尼力 称为阻尼影响系数 41 设正则变换 左乘 3 5多自由度体系的强迫振动 42 Mi Ki 和Pi t 分别为广义质量 广义刚度和广义荷载 由主振型的正交性条件可知 假定对阻尼矩阵 C 正交性条件也满足 即 3 5多自由度体系的强迫振动 43 假设阻尼矩阵 C 是质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 的线性组合 即 称为广义阻尼 其表达式为 3 5多自由度体系的强迫振动 a和b两个常数 这种阻尼形式称为瑞利阻尼 Rayleighd