多元函数的基本概念1.ppt

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 多元函数微分学 第九章 第一节 一 区域 二 二元函数的概念 三 二元函数的极限 四 二元函数的连续性 多元函数的基本概念 一 区域 1 邻域 点集 称为点P0的 邻域 例如 在平面上 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 点P0的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 2 区域 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E E的边界点的全体称为E的边界 记为 2 聚点 孤立点 若对任意给定的 点P的去心 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 孤立点 E的边界点 内点一定是聚点 说明 设点P E如果存在点P的去心邻域 点集E的聚点可以属于E 也可以不属于E 例如 0 0 是聚点但不属于集合 边界上的点都是聚点也都属于集合 再如 设平面点集满足一切点 x y 都是E的内点 满足的一切点 x y 都是E的边界点 它们都不属于E 满足的一切点 x y 也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的边界上的一切点都是E的聚点 3 开区域及闭区域 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E E 则称E为闭集 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 整个平面 是最大的开域 也是最大的闭域 例如 在平面上 开区域 闭区域 点集 是开集 但非区域 有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 其中O是坐标原点 则称E为有界集 无界集 一个集合若非有界集 就称为无界集 例如 集合是有界闭区域 集合是无界开区域 集合是无界闭区域 包括部分边界在内的区域称为半开区域 如果区域延伸到无穷远处 称为无界区域 否则称为有界区域 3 n维空间 n元有序数组 的全体称为n维空间 n维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第k个坐标 记作 即 一个点 当所有坐标 称该元素为 中的零元 记作 O 设x x1 x2 xn y y1 y2 yn 为Rn中任意两个元素 规定 n维空间中的线性运算 的距离记作 规定为 与零元O的距离为 设如果则称变元经x在中趋于固定元a 记作 在n维空间中定义了距离以后 就可以定义中变元的极限 中点a的 邻域为 内点 边界点 区域 聚点等概念也可定义 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 f称为对应规则或函数 f x y 称为f在点 x y 处的函数值 函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域 记作 函数与选用的记号无关 如 则称f是D上的二元函数 记为 1 二元函数的定义 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D 映射就称为定义在D上的n元函数 通常记为 变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 也可记为 或简记为 例1求的定义域 解 所求定义域为 2 二元函数的几何意义 设二元函数z f x y 的定义域为xoy面上的某一区域D 对于D上的每一点P x y 在空间可以作出一点M x y f x y 与它对应 当点P x y 在D中变动时 点M x y f x y 就在空间作相应地变动 它的轨迹是一个曲面 例如 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 一元函数极限回顾 二元函数的极限 如果在的过程中 f x y 无限接近一个确定常数A 就称A是f x y 当时的极限 记为 三 多元函数的极限 定义2设函数 的定义域为D P0是D的聚点 则称A为函数 若存在常数A 当 记作 对任意正数 总存在正数 也即 都有 或 说明 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 1 定义中的方式比的方式复杂的多 不同于二次极限 说明 4 不研究函数在P0 x0 y0 处的状态 仅研究点 方式任意 的过程中 函数f x y 的变化趋势 所以 定义规定函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某个邻域内有定义 不要求函数在点P0 x0 y0 有定义 5 极限值A应是一个确定的常数 它与P x y 趋近P0 x0 y0 的方式无关 也就是说 P x y 以任何方式趋于P0 x0 y0 时 函数都无限接近于A 相同点 多元函数和一元函数极限的概念的相同点和差异 一元函数在某点的极限存在的充要 定义相同 不同点 必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋 而多元函数 于P0时 条件是左右极限都存在且相等 都有极限 且相等 例2 设 求证 证 故 总有 要证 例3 设 求证 证 故 总有 要证 例4 求极限 解 其中 例5 考察函数 在 0 0 处的极限 3 当点P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 时 例5 考察函数 在 0 0 处的极限 证 例6 证明不存在 2 取 此时 仍不能确定极限是否存在 1 P x y 沿x轴趋于 0 0 此时y 0 x 0 例6 证明不存在 证 3 取 极限值随k的不同而变化 故极限不存在 确定极限不存在的常用方法 求二元函数极限 重极限 常用的方法 1 用定义验证其存在或不存在 2 利用适当放缩或变量代换转化为一元函数的极限 再用一元函数中已有的方法 3 消去分子分母中极限为0的因子 4 利用极限运算性质或法则 例如夹逼准则 与一元函数相似 5 利用函数的连续性 解 例7 求极限 例8 求 解 例9 求极限 例如 解 1 对任意的 是否可以把极限 理解为 先求 的极限 再求 的极限 或者 先求 的极限 再求 的极限 研究 有 有 同理 2 再来分析当点 x y 沿过原点的直线 因此 不存在 趋向于 有 时 由此看出 累次极限与二重极限有本质区别 四 多元函数的连续性 定义3 设n元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果存在 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称n元函数 连续 连续 二元函数的连续性 定义4 设二元函数f P f x y 的定义域为D 为D的聚点 且 如果 则称函数f x y 在点P0 x0 y0 处连续 否则称为间断 如果函数z f x y 在定义域D上每一点都连续 则称函数z f x y 在定义域D上连续 或者称f x y 是D上的连续函数 二元函数在点P0 x0 y0 处的连续 要求有以下三个条件成立 即 1 函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某个邻域内有定义 且在点P0 x0 y0 处也有定义 2 函数z f x y 在点P0 x0 y0 有极限 3 函数z f x y 在点P0 x0 y0 处的极限值等于该点函数值 即 例如 函数 在点 0 0 极限不存在 又如 函数 上间断 故 0 0 为其间断点 在聚点圆周 其定义域为 其定义域为整个平面 0 0 为其聚点 的不连续点 若在D内某些个别点 没有定义 或沿D内某些曲线 但在D内其余部分 都有定义 则在这些点或这些曲线 上 即间断点 函数 都是函数 二元连续函数的图形是一片无裂缝无点洞的曲面 结论 如果函数f P 在D的每一点都连续 则称函数f P 在D上连续 或者称f P 是D上的连续函数 多元初等函数 由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数 3 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 关于多元函数连续性的说明 一切一元基本初等函数 作为一个二元或二元以上的多元函数时 在其定义域内都是连续的 4 利用多元函数的连续性可计算在连续点处的极限 1 2 例10 证明 在全平面连续 证 为初等函数 故连续 又 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 例 解 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 4 f P 必在D上一致连续 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 内容小结 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 有 3 多