03高等数学讲义(汪诚义)第三章.doc

高等数学第三章 一元函数积分学3.1 不定积分（1） 内容要点一、 基本概念与性质1、 原函数与不定积分的概念设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为。其中称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式。2、 不定积分的性质设F(x)C ,其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为任意常数。则 (1)F(x)C 或F(x)C (2)= f(x) 或 df(x)dx (3)k (4)=3、原函数的存在性 设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如， ， ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。二、 基本积分表（略）三、 换元积分法和分部积分法1、 第一换元积分法（凑微分法）设=F(u)+C=F+C 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。2、 第二换元积分法设x可导，且，若 ，则 其中t为x的反函数。3、 分部积分法 设 u(x)，v(x)均有连续的导数，则u(x)v(x)或u(x)v(x)（1）P(x)e，P(x)sinax，P(x)cosax情形，P(x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e，sinax，cosax为；多项式部分为u（x）。（2）P(x)lnx，P(x)arcsinx，P(x)arctanx情形，P(x)为n次多项式取P(x)为，而lnx，arcsinx，arctanx为u（x），用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法（甲）内容要点一、 定积分的概念与性质1、 定积分的定义及其几何意义2、 定积分的性质中值定理，设f（x）在上连续，则存在使得定义：我们称为f（x）在上的积分平均值。二、 基本定理1、 变上限积分的函数定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且推广形式，设，可导，f(x)连续，则2、 牛顿莱布尼兹公式设 f（x）在上可积，为f（x）在上任意一个原函数，则有三、定积分的换元积分法和分部积分法1、（x在上有连续导数，单调，）2、四、广义积分定积分的积分区间是有限区间，又f（x）在上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或f（x）推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。1、 无穷区间上的广义积分定义：若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。2、无界函数的广义积分（瑕积分）(1)设f（x）在内连续，且，则称b为f（x）的瑕点。定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散。发散的广义积分没有值的概念。(2)设f（x）在内连续，且，则称a为f（x）的瑕点定义若极限存在，则称广义积分收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分发散，它没有值。（3）设f（x）在和皆连续，且，则称C为f（x）的瑕点定义3.4 定积分的应用（甲）内容要点一、平面图形的面积1直角坐标系模型 ，其中 ， 模型 ，其中 ，注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型加以计算，然后再相加。2. 极坐标系模型 模型 3参数形式表出的曲线所围成的面积设 曲线C的参数方程 在（或）上有连续导数，且不变号，且连续。则曲边梯形面积（曲线C与直线xa，xb和x轴所围成）三、绕坐标轴旋转的旋转体的体积（1）平面图形由曲线y=f(x) () 与直线xa，xb 和