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楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时6节)周 次第1周 (2008.2.28-2008.3.2)课 题第七章 实数的完备性7.1 关于实数的完备性的基本定理学 时2学时教学内容（主要）一.闭区间套定理二.柯西收敛准则三.聚点定理教 学 目 标1.深刻理解并掌握闭区间套定理2.深刻理解并掌握柯西收敛准则3.深刻理解并掌握聚点的概念及聚点引理教学重点1.闭区间套定理的证明思想和证明方法2.柯西收敛准则的证明思想和证明方法3.聚点的概念及聚点引理教学难点1.柯西收敛准则的证明思想和证明方法2.聚点引理的证明思想和证明方法教学方法与手段 分析教学方法、综合教学方法、探索式的教学方法(借助多媒体辅助教学)教 学 进 程(教学设计)第七章 实数的完备性7.1 关于实数的完备性的基本定理极限理论是数学分析的基础理论,极限理论的问题首先是极限存在问题,数列是否存在极限,不仅与数列自身的结构有关,而且与数列所在数集有关,单调有界必有极限这一结论在实数集中成立，但在有理数集中却不成立.实数集关于极限运算封闭的这种性质叫做实数的完备性或实数的连续性.刻划研究这种实数集的特性,方法有多种,各种教材也有不同的处理研究办法,首先介绍学习我们教材的办法,再介绍其它的办法.一.闭区间定理定义1.若闭区间列具有如下性质：(1).(2).则称是闭区间套,简称区间套.定理1.（闭区间套定理）若是一闭区间套,则存在唯一点,即.证明:存在性由条件(1),单调有上界,单减有下界,故它们存在极限.由条件(2),.令,则.唯一性 再设存在,:,则,故推论:若是闭区间套,则当,当时,.【注】:将换为,则结论不成立.二.柯西收敛准则定理2.收敛当时,当证明:因收敛,故可设,于是,当时,.故当时,由条件,存在,当时,.特别取,当时,有,即当时中的所有项均在之内，换言之，中所有除有限项外均在之中.取,则存在,除有限项外,均在区间中,即中几乎所有的项均在区间取,则存在,除有限项外,均在区间在内,则中几乎所有的项均在区间中,且,.取,则存在,除有限项外,均在区间在内,则中几乎所有的项均在区间中,且.一般地,反复重复上述的方法,则可以得到一闭区间套:(1).,.(2).(3).中几乎所有的项均在区间中.故由闭区间定理,存在.再由定理1推论,当时,.且内含有中除有限项外的所有项,故.三.聚点定理定义1 .设是数轴上的点集,是一已知的点(可以属于,也可以不属于),若,内都含有中的无穷多个点,则称是点集的聚点.例1.有两个聚点与. 例2.设,则及与均是其聚点.例3.都没有聚点,且任何有限集均无聚点.例4.若收敛,则其极限是聚点,但反之不然. 引理:下列条件等价(1).是的聚点；(2).,；(3).存在各项互异点列使.证明: (1)(2).显然. (2)(1)设,则取则存在.取则存在,且.取则存在.且.一般地,令,则存在且. 于是得各项互
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