第三章多端口网络

第三章多端口网络 P98 多端口网络在工程实际中有广泛的应用 我们在第一章中已介绍了多口网络的概念和性质 本章再做系统归纳 主要内容 短路导纳参数Ysc 开路阻抗参数Zoc 混合参数H 复合多口网络 多口网络的连接 含源多口网络及等效电路 星网变换 罗森定理 散射矩阵 不定导纳阵 网络解的存在性与唯一性因为本章由参数建立的是端口方程 存在方程是否有解的问题 线性电阻网络解的存在性和唯一性定理 充分必要条件 X B为列向量 当且仅当det T 0时 该网络有唯一解 RLCM组成的网络有唯一解的充分条件 设网络N仅有RLCM元件构成 当且仅当 网络中不含仅有独立电压源组成的回路和仅有独立电流源组成的割集时 网络有唯一解 实际网络总是有解的 且在任何时刻都有唯一解 但由电路模型构成的网络 可能有解 也可能无解 可能有唯一解 也可能不是唯一的 网络无解或解不唯一说明电路模型设置不合理 3 1非含源 独立源 多口网络的常见矩阵表示法 1 短路 导纳参数 是二端口网络Y参数的推广 把各端口电压看作激励 各端口电流看作是响应 则 则 我们用H表示 对矩阵的 转置并取共轭运算 称为厄尔米特 Hermite 运算 代入短路导纳参数得 若网络是 Jump 如n 2 Jump Hermite矩阵 Hermite矩阵性质 此处必然用Hermite矩阵 因为短路导纳参数阵一般是复数 Back 2 开路 阻抗参数 是二端口网络Z参数的推广 把各端口电流看作激励 各端口电压看作响应 故称为开路阻抗参数 若网络是 则 3 混合参数矩阵 是二端口网络H参数的推广 把一部分端口电压和一部分端口电流看作激励 其余端口电流和端口电压看作响应 电流看作激励的端口称为电流端口 又称为一类端口 电压看作激励的端口称为电压端口 又称为二类端口 N端口网络的互易性 对称 斜对称 6 复合多口网络 4 传输参数矩阵 检验联接后端口条件的电路实验方法如下 以二端口网络为例 亦可直接观察 连接有效性的判定 例如对图示网络 例 两个二端口并联时 其端口条件可能被破坏此时上述关系式就不成立 并联后端口条件破坏 例题 若电压端口串 电流端口并 并 串联 则为第二类混合参数矩阵之和 串 并联 复合n口网络可直接用电路分析和计算化简 也可用复合双口网络分析 在工程实际中 为保证连接有效 可在连接端口之间用1 1变压器隔离 保证各自的端口条件成立 成立 含源多口网络的表示方法 把所有端口电压看成激励 电流看成响应 短路导纳把激励分成两组 所有端口电压源 所有内部独立源 3 2含 独 源多口网络 同理可得 则可以用叠加定理处理 则N1与N2并联 设N1与N2端口条件成立 则N1与N2串联 与非含源一样 也存在有效性问题 前面讨论了复合非含源多口网络 P112 例 求图 a 所示含源三口网络的Z参数方程 a 解图 a 三口网络可看作由图 b 和 c 两个三口网络串联而成 b c 将图 b 独立电源置零值 可得图 d 所示网络 通过 Y变换可得图 e d e 由图 e 可得图 b 所示网络的Z参数矩阵Zb为将图 b 中三个端口开路 由叠加定理可得 则图 b 所示网络的开路电压列向量Uboc为 对于图 c 所示三口网络 可直接写出其端口伏安关系为 所以 图 c 所示三口网络的Z参数矩阵Zc为 开路电压列向量Ucoc为 则图 a 所示三口网络的Z参数矩阵Zoc和开路电压列向量Uoc分别为 因此 所求的Z参数方程为 3 3多口网络的等效电路 U1 Un 一 含源多口网络的等效电路 广义诺顿定理 广义戴维南定理 广义等效电源定理 华中科大 华工 何仰赞电力系统分析P37 星 网变换公式 变换的目的 星网变换和负荷移植是为了等值地改变电网的连接形态 以便于分析处理 图中各元件导纳为 星形连接的导纳集 网形连接的导纳集 令 i 1 2 n 式中 将取对数 定理 对应于一个连通dendroid图的一组如上式所表示的方程组是唯一地确定S中各导纳值的充分必要条件 图中共有n个节点 每个节点对应s中的一个导纳 每个支路对应T中的一个导纳 节点与支路的关系符合 构造一个dendroid图G 而图G中每个连通的部分恰好有一个回路 其支路数为大于或等于3的奇数 例如图为一个dendroid图G 它的5个节点对应于S中全部导纳Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 而5个支路为T中的一部分导纳Y12 Y14 Y15 Y25 Y34 其中支路Y12 Y15和Y25构成一个回路 支路Y14和Y34构成与该回路相连的分树 连通的dendroid图有且只有一个回路 由子方程 回路部分 对应于该dendroid图G的方程组为 可求得 再由方程 除回路外的剩余部分 可求得 可进一步求得Y1 Y2 Yn 例在图 a 所示网络中 节点1 2 3 4为可及节点 节点5和6为不可及节点 试消去不可及节点 解 利用Y 变换首先消去不可及节点5 得图 b 所示网络 其中 图 a 为便于分析 把网络节点分类 P137 可及 达 节点 可加电压 电流源 可测电压 电流的节点 外部节点 半可及 达 节点 可加电压源 可测电压的节点 可连接不可移动 不可及 达 节点 不能测电压 电流的节点 内部节点 图 b 利用星网变换消去不可及节点6 可得图所示网络 图 c 其中 1单口网络的散射参数 1 Ui Ii 和Ur Ir 表达 把端口电压和电流看成是入射波和反射波两部分来组成的 3 4散射 参数 矩阵 P118 前面介绍了多口网络的Zoc Ysc H T这些参数均为开短路参数 在高频 理想的开短路是困难的 分布参数 此外有很多场合人们关心的是功率的输出 在这些场合 不需要开短路测试又与功率传输密切相关的散射参数更便利有效 所谓散射参数表示实际上就是一种把各端口电压和电流分解为入射波和反射波的一种表达方式 类似于传输线的分析方法 它可以通过多口网络端口负载的条件来描述网络 是一种数字变换 可见入射电压和入射电流就是匹配情况下的端口电压和电流 而反射电压和电流就是失配情况下 偏离匹配情况电压和电流的度量 失配越严重反射量就越大 P120 3 5多口网络的统一表示法 P129 多口网路的矩阵表示有无穷多种 不同的表示法在数学上相当于不同坐标系间的线性变换 下面引入统一表示法 设 和 为两个n维列向量 称为广义端口坐标 变量 令 其中 和a b c d都是任一n阶实常数方阵 任一2n阶实常数方阵 称为坐标变换阵 是 的逆矩阵 设 和分别为网络两种不同端口的广义坐标 和分别为它们对应的坐标变换阵 即 则有 同理 这就是两种广义坐标之间的关系 设网络两种不同参数矩阵分别为 则有 由于这两种参数都存在 有 把上式代入 有 利用这一关系可以由一种参数求出另一种参数 网络性质与表示法无关的性质 定义特征矩阵 CharacteristicMatrix K s 和耗散矩阵D s 由K s 和D s 可以证明以下结论 P131 本科时所列的节点方程 是以选定网络N内某一节点为参考点而列写的 1 全节点方程 称为定导纳阵 其方程数等于独立节点数 n 1 非奇异 存在 3 6全节点方程与不定导纳阵 P131 若把电位参点改在电路N的外部 则得到电路的全部节点为变量的n个方程 称为全节点方程 求法与原来相同 显然Yi的行是线性相关的 det Yi 0 Yi是奇异的 不存在 称为不定导纳阵 此不定意指参考点任意选定 由于参考点选在电网络N外 全节点方程和不定导纳阵非常灵活 可用于不同的网络的连接和同一网络的变换 2 意义 应用 In中去掉Ink 就得到以网络N中k节点为参考点的节点电压方程 各端U1 U2 U3 Un作为激励 数值上等于各节点电压 各端电流作为零状态响应I1 I2 In按线性叠加 可以得到n个端电流表达式 设N中不含独立源且零状态 称为n端网络的不定导纳参数 其物理意义 j k 短路驱动点导纳 j不 k 短路转移导纳与多口网络的短路导纳相似 但又有不同 一个是口电流 口电压 这里是端电压 端电流 若是除第k端外 其余各端都与参考点短接 Yi称为零和矩阵 3 不定导纳阵Yi的基本性质 n个端子可对应原网络的n个节点 各端子可与网络外的参考点之间施加电压源 参考点可能与N相连 也可能不与N相连 每列之和为零 J行的代数余因式 4 不定导纳阵的运算 端子接地与浮地短路收缩开路抑制网络并联求定导纳阵 1 端子接地与浮地端子接地将n端网络的第k个端子选为参考点 相当于把对应的不定导纳矩阵Yi的第k行和第k列删除 得到一个 n 1 阶方阵Y detY不再为 零 故称为定导纳矩阵 以端子3为公共端构成双口网络 例 三端网络的不定导纳矩阵为 端子浮地 例某非含源线性三端网络N 以3端作为公共接地端 当2端短路 1端施以单位冲激电压源时 1端和2端电流的冲激响应分别为 而当1端短路 2端施以单位阶跃电压源时 两个端子电流的阶跃响应分别为 现以2端作为公共端 并在3端和公共端之间跨接2 电阻 1端施以单位阶跃电压源 试求此时端子1和3电流的单位阶跃响应 例题图释 求 解 时 时 1 2 则三端网络的不定导纳矩阵为 则3端为公共端时的Y参数矩阵为 因此 以2端为公共端时的Y参数矩阵为 当3端与公共端之间跨接2 电阻时 以2端为公共端时的Y参数方程为 并且 联立解得 取拉斯反变换可得零状态响应分别为 由不定导纳阵短路导纳阵 划去相应于公共端的行 列 成为共点 n 1 口网络 若由短路导纳阵不定导纳阵 根据零和特性 加上与公共端对应的行 列后 即得将公共端 浮地 后所形成得n端网络的不定导纳阵这种方法能从一种共点组态过渡到另外一种共点组态例 共集电极 共基极三极管 2 短路收缩 同一网络 又称端子缩并 将两个或多个端子连接起来形成一个新的端子 相应的行和列相加 1 降阶了 假定把端子1和2短接 KVL 规则 将原网络的不定导纳矩阵第2列加到第1列 再将第2列划去 或者将第1列加到第2列 再将第1列划去 规则 将原网络不定导纳矩阵的第2行加到第1行 再将第2行划去 或者将第1行加到第2行 再将第1行划去 KCL 对应列相加 对应行相加 应用 电力系统双母线母联开关合上 两节点合并为一个节点 这种情况相当于令两节点电压相等 新节点注入电流等于原两个节点地注入电流之和 得到1 2短接后所形成的n 1个端子的不定导纳矩阵 例四端网络的不定导纳矩阵为 如果将端子2和4短路收缩为新端子2 则 I3 0 3 开路抑制 开路扼制 端子的删减 端子的封禁 将一个或多个端子开路 其对应的端电流限定为零 端子变成不可及节点 抑制的端钮压进网络内 切断端钮与外部电路的联系 要开路抑制的端子电流 电压列向量分别记为I2和U2 其它端子电流 电压列向量分别记为I1和U1 在开路抑制端子k的情况下 划去原网络不定导纳矩阵Yi的第k行和第k列 其他行和列的元素作如下变化 如果开路抑制网络的一个端子 开路抑制 抑制了k个端子 后网络的不定导纳矩阵为 若某节点无注入电流 浮游节点 可将其消去 或网络化简也需要消去某些节点 节点消去 导纳矩阵将降阶 但奇异性不变 P137例3 6 3对于图示四端网络 将端子4接地 端子1和2分别与端子4构成一个端口 这样就改造成了一个共地双口网络 求该双口网络的Y参数矩阵 解图中四端网络的不定导纳矩阵为 划去Yi的第4行和第4列 得端子4接地的定导纳矩阵 为了得到双口网络 必须开路抑制端子3 将分块 则双口网络的Y参数矩阵为 定义 指网络N1和N2具有公共的参考点 且N1和N2的对应端子相连接 4 网络并联 KCL 简记为 KVL 简记为 N1和N2的不定导纳矩阵方程分别为 则 由KVL 得 总网络的不定导纳矩阵等于各个并联网络的不定导纳矩之和 两n端网络并联 n端网络与m端网络并联 n m 当相并联的两个网络的端子数目不等时 需先对端子数目少的网络补充孤立节点 在原不定导纳矩阵中插入零行和零列 形成增广不定导纳矩阵 然后再相加 增广网络 补零法 将m阶增广到n阶后相加 可以把一个复杂的n端网络写成由n个二端网络n次并联生成的 5 几种常用元件的不定导纳阵P139 P141作为作业验证几个 6 由不定导纳阵求多端口网络的短路导纳矩阵P141 P144 短路导纳矩阵 多口网络的赋定关系或约束 端口电流与电压的 直接按定义求 并不好求 下面介绍借助于不定导纳阵求短路导纳阵的方法 设多端口网络N的不定导纳阵为Yi 则相应的全节点方程为 这里用J表示In 设网络N可以构成m个端口 对应原来的2m个端子 相当于2m个节点 如图所示 3 6 10 该m端口网络 短路 导纳参数为Ysc 相应的方程为 所谓由不定导纳阵求短路导纳阵就是把 3 6 8 3 6 9 端口电压与端钮电压的关系为 3 6 11 由 3 6 11 还可得 3 6 12 端口电流与端钮电流的关系为 把 3 6 11 3 6 12 写成矩阵形式 该矩阵记为K1 上式简写为 记为I 记为J 记为0 3 6 14 人为引入下列变量 3 6 13 把 3 6 10 3 6 13 写成矩阵形式 记为Un 记为U 记为H 该矩阵记为K2 2K1 上式简写为 3 6 15 3 6 14 3 6 15 把 3 6 8 式代入 3 6 14 得 由 3 6 15 式得 3 6 18