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优选法读高中选修4-7优选法是高中数学课程标准实验教材选修4-7的内容。著名数学大师华罗庚先生，从20世纪60年代开始，致力于优选法的推广、应用于普及。当时为了适应社会的生产发展，他把数学方法创造性的应用于国民经济领域，筛选出了以改进生产工艺和提高质量为内容的优选法，并且用深入浅出的语言写出了优选法平话及其补充一书。优选法这部分内容一直都是大学里面的课程，学习数学专业方面的学生会在大学学习中遇到。但是随着新课标课程的实施，把一部分优选法下放到了高中，作为选修出现在了高中课本里，这就不得不思考其意义和目的何在。据了解，不少学校对这部分内容都是不讲的，因为与高考无关。但是把它放在高中里合适不合适？我觉得还是有必要先简单的了解一下什么是优选法。我们每个人在日常生活里都会遇到应用优选法的问题，只是我们没有注意到而已。举个简单的例子，蒸馒头是日常生活中常做的事，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱。如果碱放少了，蒸出的馒头就会发酸，碱放多了，馒头就会发黄并且有碱味。对一定量的面粉来说，放多少碱合适呢？如果没有做馒头的经验，也没有人指导，如何迅速的找出合适的碱量？又比如，一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，假如可以掌握的因素有种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速找出高产栽培的条件？如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢？类似于这样的问题层出不穷，解决这些问题的方法就正是用到优选法。说了半天，到底什么叫做优选法？在生产，生活和科学实验中，为了达到优质、高产、低消耗的等目的，需要对有关因素的最佳组合进行选择，关于最佳点选择的问题，就成为优选问题。上文中提到的两个例子都是属于优选问题。我们知道，如果目标和因素之间能有一个函数表达式这是最好不过的了。通过分析函数图象，就可以得出最合适，最好的点在哪。但实际上有许多问题，实验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达，对于这些问题，就需要做实验来寻找各种因素的最佳点。在实验过程中，如果不合理安排，可能面临大量的实验，不仅要花费大量的人力，财力和时间，而且可能不具有操作性。这就需要我们考虑，怎么进行实验才是最好的，所以我们就采用优选法来安排实验。根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排实验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法，就是优选法，优选法的目的在于减少哦试验次数。具体介绍优选法的方法之前，先说几个概念和性质，这些都是在应用优选法的时候会遇到的。1. 单峰函数例：在军事训练中，经常要考虑发射角度多大时炮弹的射程最远，假设炮弹的初速是，发射角度为，在时刻，炮弹距发射点的水平距离为，离地面高度为。如果忽略空气阻力，则有，其中，为重力加速度。另，得。因此，炮弹的射程为。射程xO发射角从上述讨论可以发现，在一定的发射速度下，炮弹的射程是发射角的函数，当发射角时，射程随发射角的增加而增加；当发射角为时，射程最大，当发射角，射程随发射角的增加而减小。许多优选问题都有如上所述的情形，就是说，我们常常仅知道在实验范围内有一个最佳点，但实验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或者再小些时，实验效果都差，而且取值离最佳点越远实验效果越差，通常称这样的实验具有单峰性。xyOabCg(x)用数学的语言说，就死如果函数在区间上只有唯一的最大值点（或最小值点），而在最大值点（或最小值点）的左侧，函数单调增加（减少）；在的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间上啊的单峰函数。同时我们还规定，区间上的单点函数也是单峰函数。xyOabxyOabxyOabCf(x)2.因素在炮弹发射的试验中，除了发射角度以外，初速度，空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响实验目标的初速度、发射角、空气阻力等成为因素。在实验过程中，只有一个因素在变化的问题，成为单因素问题。把试验中可以认为调控的因素叫做可控因素，而把那些不能人为调控的因素叫做不可控因素。3. 目标函数炮弹试验中，射程（目标）可以表示为发射角的（因素）的函数。像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，成为目标函数。我们常用表示因素，表示目标函数（并不需要的真正表达式）。假定包含最佳点的因素范围（实验范围）下限用表示，上限用表示，因素范围可以用到的线段来表示，并记作。还有一点我们需要注意的是，在单峰函数图像中，设和是因素范围内的任意两个试点，为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点成为差点。有之前的图可以直观地发现，如目标函数为单峰函数，当好点与差点在最佳点的同侧时，好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点比在差点的同侧。于是我们可以以差点为分界点，把因素范围分成两部分，并称好点所在的部分为存优范围。有了以上的预备知识，接下来就要介绍优选法的具体方法了。这里主要介绍两个，一个是黄金分割法0.618法，一个是分数法。1. 黄金分割法我们知道，对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点月好点必在差点同侧。所以可按如下方法安排试点：现在因素范围内任选两点各做一次试验，根据实验结果确定差点与好点，在差点处把分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围，显然有；再在内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把分成两段，截掉不包含新好点的那一段，留下新的存优范围，同样有重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小。但是在这种方法中，试点的选取是任意的，只要在前一次留下的范围内就行了，所以实验比较具有盲目性。这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响。例如，假设因素区间为，取两个试点，那么对峰值在中的单峰函数，两次实验便去掉了长度为的区间；但对于峰值在的函数，只能去掉长度为的区间，实验效果就不理想了。如下图所示：可以看出这样安排实验点并不理想，那么还有没有好一点的办法呢？为了摆脱取点盲目性这一问题，我们做这样一个变化。在安排实验点的时候，使两个点关于的中心对称。为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长，如果一次截的足够长，就要使两个试点和与足够近，这样，第一次可以截去的将近一半，但按照对称原则，做第三次实验后会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点。为了使每次去掉的区间有一定的规律定，在对称的基础上，我们再加一个条件，使每次舍去的区间占舍去前区间的比例不变。接下来我们就分析如何按照这些原则确定合适的试点，以及确定这个比例是多少。设第1试点、第2试点分别为和，且和关于的中心对称，即。显然，不论（或）是好点还是差点，由于对称性，舍去的区间长度都等于。我们另是好点，是差点，于是舍去，再在存优范围内安排第三次实验，设试点为，与关于的中心对称。应该注意的是，点应在点的左侧。因为如果在的右侧，那么当是好点，是差点时，要舍去区间，而它的长度和上次舍去区间的长度相同，就不是按照成比例舍去的原则进行了。所以点一定是在点的左侧。这样不论点（或是点）是好点还是差点，被舍去的区间长度都等于。按成比例舍去的原则，我们有，其中左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。对等式变形得，即。设每次舍弃后的存优范围与舍弃前全区间的比值为，即，所以。由可得。将代入得到，即，解得，。其中为对本题有意义的根。而这，就是黄金分割常数，用表示。在实验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法。由于是无理数，具体应用时，取其近似值0.618.黄金分割法，是最常用的单因素单峰函数的优选法之一。下面通过例子来说明它的具体操作方法。案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过实验找到它的最优加入量？最原始简单的想法就是以1g为间隔，从1001开始一直到1999。但是这样要做1000次试验，在时间、人力和物力上都是一种浪费。用0.618法，可以更快更有效的找出最佳点。具体操作如下：先画出因素范围，以1000为起点标出刻度，找出它的黄金分割点（在长度的0.618处）作为第1试点，再找出的对称点作为第2试点。这两点的材料加入量是，；比较两次实验结果，如果第2试点比第一试点好，则沿1618处将纸条剪断，去掉1618以上部分；再找出关于中点的对称点作为第3试点，比较和谁是好点，谁是差点。去掉不含好点的部分，留下包含好点的存优范围，按同样的方法继续下去，就能迅速逼近该元素的最佳加入量。对于一般的因素范围，用0.618法确定试点的操作过程与上述过程完全一致。从上述过程可以看到，用0.618法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找出最佳点，但随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，即存优范围会越来越小。我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即次试验后的精度为，显然在相同试验次数的情况下，精度越高，方法越好。我们使用0.618法的时候，从第二次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，次试验后的精度为。所以，若要精度达到0.05，则，即，于是安排8次试验就能达到。一般的，给定精度，为了达到这个精度，只需试验次数满足，即即可。2. 分数法案例 1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入量大于130ml肯定不好，用150ml的锥形量杯计量加入量，量杯的量程分为15格，没格代表10ml，用试验法找出这种材料的最优加入量。对于这个问题，如果使用0.618发的话，第一个试验点我们就要取在处，但实际上量杯很难两处这么精确的量，所以这个问题用0.618法就不合适，这个时候我们就要考虑其他的方法。而分数法就可以很好的解决这个问题。我们知道，0.618是黄金分割常数的近似数，那是否可以用其他形式的数作为的近似数来解决上面的问题呢？由于是方程的根，因此，即，将等式右边的用代替，得，继续这个步骤，可得，等号右边是一个繁分式，我们称它为连分数，为了方便书写，可以把它写成。下面计算这个无穷分数的前几项： ， ， ， ， ， 可以发现，由上面的可以组成一个各项为分数的数列。这个数列的项中，分子和分母分别是数列中相邻两项。数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，。它的前两项为和，从第三项起每一项是其相邻的前两项的和，即，。数列叫做斐波那契数列。当0.618法不合适的时候，我们就可以用来代替0.618找出第一个试点，并且随着的增加（即试验次数的增加），越来越接近黄金分割常数。称为的渐进分数列，为的第项渐进分数。现在再看案例1，实验范围是0130，把实验范围分为13格，即，现在用代替0.618，那么，为第2试点，且关于是对称的（实际上第二个试点取在，若实验范围分成个格，第一试点取在，第二试点取在）。按照这个方法确定好点与差点，然后去掉不含好点的区间，在包含好点的存优区间找第3个试点，几次试验之后，就能找到满意的结果。优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替确定试点的方法叫分数法。当因素范围有一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能用分数法解决。案例 2 在调试某设备的线路中，要调试一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5，1.3，2，3，5，5.5等7种阻值不等的定值电阻，他应当如何优选这个阻值？如果用0.618法，则计算出来的电阻可能没有，这时，可以先把电阻由小到大顺序排列阻值 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5排列 1 2 3 4 5 6 7这样就把阻值优选变为序号优选，问题就容易解决了。为了便于用分数法，可在两端增加虚点0，8，是因素范围凑成8格，用来代替0.618.第一个试点取序号5，第二个试点按照对称的原则取3，确定谁的效果好，谁的效果差，之后按分数法依次确定试点，就可以较快的找到较好的点。一般的，用分数法安排试点的时候，会遇到以下两种情况：1. 可能的试点总数正好是某一个（）。这时，前两个试点放在因素范围的和位置上，即先在和点上做实验。比较两个实验结果，经过两次实验，存优范围中还剩下个试点，按照对称原则找出第三个试点，继续比较，重复以上步骤，直到找到最佳点。在个可能的试点中，用分数法安排实验，最多只需（）次试验就能找到其中的最佳点。这样，如果最多只能做次试验，那么就把实验范围分成份，在个分点安排试验，这样可是个实验的结果达到最佳精度。2. 若所有可能的试点总数大于某一个，而小于，这时可以先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为个，从而转化为第一种情况，若不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成个试点之后使用分数法，对于这些虚设点，并不真正做实验，而是直接把它们作为坏点，很明显，这种虚设点，并不增加实际试验次数。分数法也是适合单因素单峰函数的方法，它与0.618法的本质相同，两者的区别只是用分数和代替0.618和0.382来确定试点，后续步骤都是相同的。以上我们介绍了单因素单峰函数中常用的两种方法，0.618法和分数