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第五节高阶偏导数 本节主要讲两个问题 一 什么是高阶偏导数 二 在什么条件下混合偏导数相等 多元函数的高阶偏导数与一元函数的高阶导数类似 一般情况下 函数 的 偏导数 还是 的函数 如 果 的偏导数还存在 则称它们 的偏导数为 的二阶偏导数 即 函数一阶偏导数的偏导数 称为原来函数的二阶偏导数 函数二阶偏导数的偏导数 称为原来函数的三阶偏导数 二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数 依此类推 可定义多元函数的更高阶的偏导数 二元函数 二阶偏导数 的二阶偏导数 对 的二阶偏导数 对 的混合 对 二阶偏导数 二阶偏导数的记号 二元函数的二阶偏导数共22 4项 二元函数 三阶偏导数 二元函数 的三阶偏导数 共23 8项 例1求 的二阶偏导数 解 例2求 处的二阶混合偏导数 问题 混合偏导数都相等吗 在 解 当 时 当 时 显然 问题 在什么条件下混合偏导数相等 定理 若 和 在点 处连续 则 这样以来 如果二元函数对求次 对求次的混合高阶偏导数连续 对自变量求偏导时可不分顺序 它们都是相等的 反复利用上述定理 其它多元函数类似 例2设 求 解 例3 所确定的函数 求 解 则 故 例 还是的函数 注意 抽象复合函数求高阶偏导数时 仍为抽象复合函数 例4设 求 解 令 则 有连续的二阶偏导数 令 则 例5设 具有二阶 连续偏导 求 解 例6设 其中 二阶偏导连续 求 二阶 可导 解记 例7设 求 解 例8设 可把方程 简化为 求常数 解 若 由 将上述结果代入原方程得 依题意 得 例9设 求 解 例10设 其中 均二次可导 求 解 记 则 例11设 存在二阶连 偏导数 且 求 解 记 则
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