洛伦兹变换的推导.doc

洛伦兹变换的推导： 不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的 现在我们 设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。可令（1）.又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。故有（2）.对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得（3）.（4）.将（2）代入（1）可得：，即（5）.（1）（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有，。代入（1）（2）式得：，。两式相乘消去t和T得：.将反代入（2）（5）式得坐标变换：3速度变换：同理可得V（y），V（z）的表达式。4尺缩效应：B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由得：，又t=0（要同时测量两端的坐标），则，即：，。5钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，故，又，（要在同地测量），故。（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）6光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：）B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为（b），波数为N，B系的钟测得的时间是t（b），由钟慢效应可知，A系中的钟测得的时间为（1）.探测器开始接收时刻为，最终时刻为，则（2）.相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即（3）.由以上三式可得：.7动量表达式：（注：，此时，因为对于动力学质点可选自身为参考系，）牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。牛顿力学中，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x，y，z）新坐标系中为（X，Y，Z）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时莫属）就可以修正速度的概念了。即令为相对论速度。牛顿动量为，将v替换为V，可修正动量，即。定义（相对论质量）则.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）8相对论力学基本方程：由相对论动量表达式可知：，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）9质能方程：即10能量动量关系：，四维证明1公理，无法证明。2坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2（1）.则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS20称类空间隔，dS20称类时间隔，dS2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有：（保持y，z轴不动，旋转x和ict轴）X=xcos+（ict）sin得：tan=iu/c，则cos=，sin=iu/c反代入上式得：X=（x-ut）Y=yZ=zT=（t-ux/c2）3456略。7动量表达式及四维矢量：（注：=1/sqr（1-v2/c2），下式中dt=d）令r=（x，y，z，ict）则将v=dr/dt中的dt替换为d，V=dr/d称四维速度。则V=（v，ic）v为三维分量，v为三维速度，ic为第四维分量。（以下同理）四维动量：P=mV=（mv，icm）=（Mv，icM）四维力：f=dP/d=dP/dt=（F，icdM/dt）（F为三维力）四维加速度：=/d=（4a，4iva/c）则f=mdV/d=m8略。9质能方程：fV=mV=m（5va+i25va）=0故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）由fV=0得：2m