第7-9节：函数的连续性.doc

第7节 函数的连续性第8节 连续函数的运算和与初等函数的连续性第9节 闭区间上连续函数的性质教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学内容：一数的连续性1增量（用图说明）对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。注：这里所讲的增量是一种广义的概念，可能为负数。2函数在点连续的定义 定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。（用图说明）分析：设,那么意味着，同时也表明，由上述定义，可转换为，于是，连续的定义可改写如下。等价定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。总结：连续的三个条件（1）在点有定义；（2）在点极限存在；（3）由于连续是用极限来说明的，而极限又分为左极限和右极限，故连续也分为左连续和右连续，下面给出左连续及右连续的概念。如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。在点连续（常用于判定分段函数在分段点的连续性）例1讨论函数 在点处的连续性。2连续函数在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。所有的基本初等函数在其定义区间内都是连续的。二函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续。 在间断，极限为2。 在间断，极限为2。 在间断，左极限为2，右极限为1。 在 间断在间断，极限不存在。像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃间断。被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断。就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。例2 试确定的间断点类型。（是可去间断点，是无穷间断点）三连续函数运算由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可得出下列定理。定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。定理4 如果函数在区间单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数x=(y)也在对应区间上单调增加（或单调减少）且连续。（反函数的连续性）定理5 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限也存在且等于，即。（在连续的条件下，极限符号和函数符号可以交换位置）定理6 设函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点也是连续的。（复合函数的连续性）由于初等函数是基本初等函数经过有限次的四则与复合所得，故一切初等函数在其定义域内都是连续的。例3 四闭区间上连续函数性质在闭区间上的连续函数具有下述良好性质定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。定理3（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。定理4（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号（即）,那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点使。（常用来证明方程有解）定理5（根的唯一性定理）若函数在闭区间上单调且连续，并且，则在开区间内有且仅有