蝴蝶定理.doc

蝴蝶定理:这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在美国数学刊1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理 ButterflyTheorem 蝴蝶原理 XM=MY W.G.霍纳 1815年定义蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。1-2 蝴蝶定理的证明验证编辑方法一 证：过O作OLED，OTCF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，容易证明ESDCSF， 蝴蝶定理的证明图ES/CS=ED/FC，根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2，ES/CS=EL/CT，又E=C，ESLCST，SLN=STM，S是AB的中点所以OSAB，OSN=OLN=90， 取OM中点X， 在RtMTO和OSM中，TX=OX=MX=SX， O，S，N，L四点共圆，（一中同长）。同理，O，T，M，S四点共圆， STM=SOM，SLN=SON，SON=SOM，OSAB，MS=NS。证毕。方法二从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X和X。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y和Y。 蝴蝶定理的证明（证明过程见图片） 证明方法二3推广编辑该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。1.在椭圆中椭圆中的蝴蝶定理如图一，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（br0）。（I）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y20）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y40）。求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)（III）对于（）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。求证： | OP | = | OQ |。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X和X。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y和Y设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+ 证明过程图片x4)为式，两边同取倒数，得为1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 将两边同乘以k1k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。2.在圆锥曲线中通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。3.在平行四边形中在平行四边形中，M为对角线AB与CD点。4.坎迪定理去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为坎迪定理，这对2，3均成立14定理历史编辑这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志男士日记（Gentlemans Diary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。3这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是相等的；另一个证明由理查德泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Mile Brand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J开世在A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid给出，只有一句话，用的是线束的交比。“蝴蝶定理