（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第20讲 三角恒等变换优选学案.doc

第20讲三角恒等变换考纲要求考情分析命题趋势1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).2017全国卷，132017山东卷，72016全国卷，142016全国卷，62016浙江卷，11三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.分值：512分1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()_sin_cos_cos_sin_.cos()_cos_cos_sin_sin_.tan()_.2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_2sin_cos_.cos 2_cos2sin2_2cos21_12sin2_.tan 2_.3有关公式的逆用、变形(1)tan tan tan()(1tan tan )(2)cos2_，sin2_.(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.(4)asin bcos sin()，asin bcos cos().1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(1)正确对于任意的实数，两角和与差的正弦、余弦公式都成立(2)正确取0，因为sin 00，所以sin(0)sin sin sin 0.(3)错误变形可以，但不是对任意角，都成立，k，kz.(4)正确当k(kz)时，tan 22tan .2已知cos x，则cos 2x(d)abcd解析cos x，cos 2x2cos2x1.故选d3sin 34sin 26cos 34cos 26的值是(c)abcd解析sin 34sin 26cos 34cos 26(cos 34cos 26sin 34sin 26)cos(3426)cos 60.4设sin 2sin ，则tan 2的值是_.解析sin 22sin cos sin ，cos .又，sin ，tan ，tan 2.5tan 20tan 40tan 20tan 40_.解析tan(2040)，tan 20tan 40tan 20tan 40，即tan 20tan 40tan 20tan 40.一三角函数的化简与求值三角函数式化简与求值的常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2)统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等【例1】 (1)化简：(0)；(2)求值：sin 50(1tan 10)解析(1)由(0，)，得00，2cos.又(1sin cos )2cos2coscos .故原式cos .(2)sin 50(1tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501.二三角函数的条件求值解三角函数求值问题的一般步骤(1)给值求值问题的一般步骤化简条件式子或待求式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从函数名称及角入手)；将已知条件代入所求式子，化简求值(2)给值求角问题的一般步骤先求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角【例2】 (1)已知，为锐角，cos ，sin()，则cos _.(2)已知tan 2.求tan的值；求的值解析(1)为锐角，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)tan3.1.【例3】 (1)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为(c)abcd或(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin 0.又(，2)，.(2)tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.三三角恒等变换与三角函数的综合问题三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为yasin(x)b的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题【例4】 已知函数f(x)2cos2x12sin xcos x(01)，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin 的值解析(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin，由于直线x是函数f(x)2sin的图象的一条对称轴，所以sin1，因此k(kz)，解得k(kz)又因为01，所以，所以f(x)2sin.由2kx2k(kz)，得2kx2k(kz)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kz)(2)由题意可得g(x)2sin，即g(x)2cos，由g2cos2cos，得cos，又，故，所以sin，所以sin sinsincoscossin.1计算sin 20cos 70cos 160sin 70的值为(c)a0bsin 50c1d1解析原式sin 20cos 70cos(18020)sin 70sin 20cos 70cos 20sin 70sin(2070)sin 901.2已知锐角满足cos 2cos， 则sin 2(a)abcd解析由cos 2cos，得(cos sin )(cos sin )(cos sin )，由为锐角知cos sin 0，所以cos sin ，平方得1sin 2.所以sin 2.3已知coscos，则sin4cos4(c)abcd解析因为coscos(cos2sin2)cos 2，所以cos 2，所以sin4cos422.4设为第二象限角，若tan，则sin cos _.解析因为tan，所以tan tan，即sin cos ，又因为sin2cos21，所以cos2cos21，cos2，因为为第二象限角，所以cos ，sin cos ，sin cos .易错点不会正确拼凑角错因分析：没有注意已知角和所求角之间的和、差、倍、半、互余、互补关系，从而不能正确拼凑出便于解题的角【例1】 已知cos，求cossin2的值解析 cossin2cossin2cossin2.【跟踪训练1】 若tan，则tan _.解析tan tan.课时达标第20讲解密考纲三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查一、选择题1已知sin 2，则cos2(d)abcd解析cos2，cos2.2(2017山东卷)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为(c)abcd2解析ysin 2xcos 2x2sin，函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为.故选c3已知，tan，那么sin 2cos 2的值为(a)abcd解析由tan，知，tan 2.2，sin 2，cos 2，sin 2cos 2.故选a4已知为锐角，且7sin 2cos 2，则sin(a)abcd解析由7sin 2cos 2，得7sin 2(12sin2)，即4sin27sin 20，解得sin 2(舍去)或sin ，又由为锐角，可得cos ，sinsin cos .故选a5若，且3cos 2sin，则sin 2的值为(d)abcd解析cos 2sinsin2sincos，代入原式，得6sincossin.，sin0，cos，sin 2cos2cos21.故选d6已知sinsin ，则sin的值是(d)abcd解析sinsin sincos cossin sin sin cos sin cos ，故sin.所以sinsinsin.二、填空题7函数f(x)2cos xsin x的最大值为_.解析依题意，得f(x)sin(x).因此函数f(x)的最大值是.8.的值为_1_.解析原式1.9若锐角，满足(1tan )(1tan )4，则_.解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，所以.三、解答题10(2018江西高三阶段性检测)已知cos(2 019)，.(1)求sin 的值；(2)求cos的值；(3)求tan的值解析(1)因为cos(2 019)，所以cos ，得cos .又，所以sin .(2)coscoscos cossin sin.(3)因为tan ，所以tan.11已知0，cos，sin().(1)求sin 2的值；(2)求cos的值解析(1)sin 2cos2cos21.(2)0，0