单项式乘多项式2.doc

1.单项式与多项式相乘（1）单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m(a+b+c)=ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。（2）单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。（3）运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意确定积中每一项的符号。（4）最后结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。例1. 计算 (1) ab(- a2b+ b-3ab) (2) 6xy-3(xy- x2y)3xy解: (1) ab(- a2b+ b-3ab) 分析：= ab(- a2b)+ ab( b)+ ab(-3ab)(1)利用法则转化成三组=- a3b2+ab2-2a2b2 单项式乘法的代数和=- a3b2-2a2b2+ab2 (2) 计算时注意确定符号(3)按字母a的降幂排列解：(2) 6xy-3(xy- x2y)3xy分析：(1)计算这种多层括号的题，一般从里往外去括号。=6xy-3xy+ x2y3xy 去括号时注意括号前面是“-”号时，把“-”号和括号去掉时=3xy+ x2y3xy 括号内每一项都要变号=3xy(3xy)+3xy( x2y) =9x2y2+ x3y2(2)有同类项时注意要随时合并同类项。例2化简求值：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) , 其中x=- .解：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7) 分析：先将原式化成最简形式按某一字母降幂（或升幂）排列再求=9x4-2x3-2x2-3x3+21x 值计算。=9x4-5x3-2x2+21x 当x=- 时,原式=9(- )4-5(- )3-2(- )2+21(- )=9 + - - =1 -11=-9 .2多项式与多项式相乘（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。（2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。如： =ac+bc+ad+bd。项数为22=4项。（3）对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。例3计算：( a- b)( a+ b)解：( a- b)( a+ b) 分析：(1)用法则展开，化为四组单项式乘法的代数和= a a+ a b- b a- b b= a2+ ab- ab- b2 (2)合并同类项= a2- ab- b2例4化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .解：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17)=x2+(2-3)x+(2)(-3)-2x2+(-6+5)x+(-6)(5)-(3x2-15x+51)=x2-x-6-2x2+2x+60-3x2+15x-51=-4x2+16x+3 当x=5 时, 原式= -4( )2+16( )+3=-30.例5当(x2+mx+8)(x2-3x+n)展开后，如果不含x2和x3的项，求出(-m)3n的值。分析：想求出(-m)3n的值必须要知m值及n值。由已知条件可知多项式乘以多项式后的结果不含x2和x3项，也就是x2项和x3项的系数都为0，转化成一个方程组去求m、n值，再求(-m)3n的值。解： (x2+mx+8)(x2-3x+n)=x2(x2-3x+n)+mx(x2-3x+n)+8(x2-3x+n)=x4-3x3+nx2+mx3-3mx2+mnx+8x2-24x+8n=x4+(-3+m)x3+(n-3m+8)x2+(mn-24)x+8n又 上面展开后的多项式不含x2和x3项 解方程组得： (-m)3n=(-3)31=(-3)3=-27例6计算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)解法（一）:(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)=(3x3)(6)+(3x3)(-7x)+(3x3)(2x2)+(-2)(6)+(-2)(-7x)+(-2)(2x2)+(-5x)(6)+(-5x)(-7x)+(-5x)(2x2)=18x3-21x4+6x5-12+14x-4x2-30x+35x2-10x3=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12在多项式乘法里像例20这样的两个因式的项数都比较多时，横式的写法在合并同类项时，容易搞错，我们也可以像算术里做多位数乘法一样用竖式的写法来进行演算。 (3x3-2-5x)(6-7x+2x2)=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12二整式乘法运算的有关应用1.简化数字计算 2.化简求值3.证明等式4.解方程和不等式例7把下列各式化成(a-b)p的形式：(1) 15(a-b)3-6(a-b)q+5(b-a)245(b-a)5 (2) (a-b)(b-a)4(b-a)p+q+1(a-b)3例8计算(1) 4(a+b)23-2(a+b)32 (2) xn-5(xn+1y3m-2)2-(xn-1ym-2)3(-y3m+2)例9（1）化简 (a2b6)n+3(-ab3)2n+2(-anb3n)2 (n为正整数) （2）计算：(- xy2z)2(- xyz2)3(-6x2y2)2例10用简便方法计算：(1) (-9)3(- )3( )3 (2) ( )23(23)3例11解下列各题：(1) 如果28n16n=222, 求n的值。(2) 如果(9n)2=38, 求n的值。例12如图，求图形中阴影部分面积。 例13计算：8x2-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)例14若x3-6x2+11x-6x3+(m-1)x2+(n-m)x-n, 求3m+2n的值。例15（1）解方程：(2x+1)(x+5)=(x-2)(2x+5)（2）解不等式：2(x-2)(x+3)(2x-1)(x+5)例16证明代数式(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值与x的值无关。测试选择题1(?xmyn)(0.5x2yn)( xm-1y2)的结果为( )。 (A)x2m+1y2n+2 (B) x2my2n+2 (C) x2m+1y2n (D) x2m+1y2n+22 (a+b)2(ba)3 (ab)3 (a+b)结果为( )。 (A) (a+b)3(ab)6 (B) (a+b)3(ab)7 (C)(a+b)3(ab)3 (D) (a+b)5(ab)63已知8xy除某一多项式所得的商式是 ，余式是3x3y2，则这个多项式的值是( )。 (A)4x2y213x3y214x2y3 (B)4x2y215x3y2+14x2y3 (C)4x2y215x3y214x3y3 (D)4x2y215x3y314x2y34(x+3y)(