数形结合在高中数学中应用

数形结合在高中数学中的应用“倘若从我们的世界里突然把数学抽走，那么人类社会将即刻崩溃，倘若数学被冻结，那么我们的文明将即刻倒退!”忘记这是从那本书上看到的一句话，因为当时感触颇深所以把它记了下来。这说明数学对社会的发展及人类文明的进步至关重要，所以学好数学或作为老师教好数学就是一项非常重要的任务，我觉得学好数学或教好数学掌握好数形结合的思想非常重要.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，数形隔离万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。下面结合这些年的教学体会谈一下我对数形结合思想在数学应用中的几点认识: 1. 数形结合思想的应用1.1 在方程、函数问题中的应用方程f(x) g(x) = 0的解情况，可化为f(x)g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。例1已知函数g(x)x若g(x)m有零点，求m的取值范围；解析：首先将问题转化为g(x)x与y=m有交点，其次求函数定义域，再求函数的导数， 然后出函数的单调区间和极值，画出函数的图像如上图，从图像来看，若两个函数有交点则m2e或m总结：m的范围就是函数g(x)x的函数值的范围，所以对于这种题型只要求出函数的值域即可得参数的范围。变式1：若g(x)m有一个根点，求m的取值范围；变式2：若g(x)m有两个根点，求m的取值范围；变式3：若g(x)m有四个根点，求m的取值范围；通过上面画g(x)x的图像，平移y=m就可以分别求出上面的三个变式题中m的范围，例2：已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0) 确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解析：若g(x)f(x)0有两相异的实根，即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的图像f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)的图像有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)例3：已知函数g(x)x(x0)g(x)m恒成立求m的范围。解析：如图g(x)m恒成立则，直线y=m应该在y= g(x)图像的下方所以m转化为求函数最值问题。例4：已知函数g(x)x(xm,求m的取值范围解析：利用数形结合可知g(x)m转化为求函数的最值问题1. 2在最值问题中的应用最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题目是可以借助于重要不等式等知识直接解决的，但有些题目用这些方法都比较复杂，而且计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了，不要思维定势。我们可以考虑一下这些代数式的几何意义了，再结合代数式中所隐含的几何图形，应用几何知识来求其最大值或最小值。代数式的几何意义有很多，在这我主要地介绍以下几种：一是表示直线斜率的转化为求直线斜率的问题；二是表示两点间的距离转化为求两点距离的问题；三是表示直线的纵截距转化为求直线的截距问题；四是表示圆锥曲线的转化为利用圆锥曲线的定义来求的问题。1.2.1用直线斜率公式求最值例5求函数y=的最值。解析：函数解析式可看作过点A(2，3)与B(，)的直线的斜率，动点的轨迹是圆。如图1，容易地看出，当且仅当过点的直线与该圆相切时，直线AB的斜率才会取得最大值和最小值。设直线AB的方程为，则由直线AB与圆相切可知：解之得 所以和在考虑形如y=或y=的这一类代数式，我们可以结合它们的几何图形（如图1）圆与直线有交点的模型，用几何的方法来求最值，它们的最值，就是当直线与圆相切时直线的斜率。1.2.2转化为两点距离问题例6求函数的最大值分析作点A(x，0)，B(0，)，C(，)， 则，如图2所示，由平面几何知识可知，当A(x，0)在直线BC上时，取最大值|BC|，由此可求得 当(3，0)时求形如的最小值或的最大值时，因为根式中的项都可以表示成两个式子的完全平方和，这跟几何中的距离公式类似，所以我们可以转化为求两点间的距离的最值，所以我们可以根据图形和相关的几何知识，求出这两点间距离的最值，即而解答了原来的题目。当然，还有一些其它类似的代数式，但它们也有这样的性质，也可用类似的方法，达到出奇制胜的效果1.2.3转化为直线的纵截距问题例7已知满足，求的最大值和最小值。解析：设，则问题转化为求直线与椭圆有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和 最小值，如图所示，根据相关的几何知识可知，当且仅当直线与椭圆相切时直线的纵截距才能取得最值。把代入椭圆方程并整理得，由解得 从而有和。已知满足的平面区域，求的最值问题时，因为该式可化为，且b是常数，所以求的最值就是求也就是直线在y轴上的纵截距的最值。因为已知满足的平面区域，区域是有范围的，所以我们只要对直线做平移，移到区域的边界即相切时，就可以求出其纵截距的最值。其实，这种问题就是一个线性规划最优化问题，它的解法就是线性规划最优化问题的解决方法之一。1.2.4利用圆锥曲线定义求最值例8已知|x+3+yi|+|x-3+yi|=10 求|4x+5y|最值？分析设 ，则满足已知条件的点z的轨迹为椭圆，易求得其方程为此椭圆的参数方程为 x = 5cos ， y = 4 sin ，代入得| 4x + 5y|得| 4x + 5y| = | 20cos+ 20sin| = | 20sin（+/4） |由此易求得| 4x + 5y |max = 20 而 | 4x + 5y |min = - 20。像这样的题目中，有时用复数表示的式子，或把它转化为坐标式，满足条件的的轨迹本身就是一条圆锥曲线，这时我们就可以用它的参数表达式来代替，从而简化了原来的问题，减少了计算量。这样的题目，我们用这种方法就起到了化繁为简的效果。1.2.5构造空间图形求最值例9锐角，满足cos2+cos2+cos2=1 求的最小值？ 分析据已知条件锐角，满足cos2+cos2+cos2=1构造长方体ABCDA1B1C1D1，如图所示，设其体对角线B1D与棱B1B，B1A，B1C1所成的角分别为，来进行论证倒非常便捷。令B1B=a，B1A1=b，B1C1=c，则cos2， cos2，cos2， 对于一些有关三角函数的问题，若直接用三角变换来解答，可能也会做得出来，但都比较复杂，而且计算量很大，如另辟捷径，根据已知的条件，如角所满足的条件来构造某些几何图形（特别是长方形），使得其中含有已知的角，我们对图形的边长进行赋值，这样三角函数的问题就转化成不等式的问题，再根据重要的不等式，就会很容易地解决问题。不同的已知条件，就要构造不同的图形或模型，这就要求我们要充分了解已知条件内隐含的信息，同时根据我们平时不断积累起来的经验，构造出合理的图形来，这才会起到事半功倍的效果，不然就构造模型就会浪费很多的经历。1.3在不等式问题中的应用例10不等式的解集是？分析令f(x)=x，g(x)= ，在同一坐标系中画出这两 函数图像。如图所示，由图像可知：不等式的解集为(-1，0)(1，+)。这类求解像f(x)g(x)这样的不等式，跟上面所提的方程f(x)g(x)的类似，方程问题的是看两个函数图像有几个交点这类的信息，而这里不等式问题的是看不同的区间内，两个函数图像谁上谁下，从而知道谁大谁小了，也就是不等式的解区间了，区间的端点就是方程问题所要讨论的。1.4在解析几何中的应用例1已知集合|与集合|，则中的元素个数有（）、解析：画出圆和抛物线的图像，如图 所示，根据图像，答案一目了然，选。例2如图1-10所示，F1，F2双曲线的左右焦点，是其上任意一点，P F2的中点到点的距离为，求点到其左准线的距离？解析：如图所示,连接F1，OQ，就可以看出OQ是F2F1 中F1边上的中位线，则F1，所以点到其左准线的距离就是。2.用数形结合时应注意的几个问题（误区）“数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。2.1精确作图，避免潦草作图而导出的错误在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。2.2注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小2.3注意图形的存在合理性，不可“无中生有”2.4注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形有些问题可以从图像直接解得，但要经过认真地分析，而有些问题很难由图像直观而得，值得注意。我们要仔细地观察图像，看看这些图像的位置关系是否都是合理的，是不是漏掉了一些情况呢？我们只有做到不重不漏，我们保证所得到的答案是准确的。2.5用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。例3已知函数，若且， 证明：。错解：许多学生这样做：画出函数的图 像，如右图，取点A(x1，f(x1)， B(x2，f(x2)， C(， )。显然弦AB在弧AB上方，所以弦AB的中点的高度大于点的纵坐标，得证。这里要证明的不等式，正是凹函数的定义，用凹函数的直观图形来证明不等式成立是一个逻辑循环，自己来证明自己。其实，此题结合单位圆的知识，结合正切函数的定义容易证明。数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅