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可交换矩阵目录矩阵可交换的几个充分条件和必要条件 1. 定理1 2. 定理2 3. 定理3 4. 定理4 5. 定理5 6. 定理6可交换矩阵的一些性质 1. 性质1 2. 性质2矩阵可交换的几个充分条件和必要条件 1. 定理1 2. 定理2 3. 定理3 4. 定理4 5. 定理5 6. 定理6可交换矩阵的一些性质 1. 性质1 2. 性质2展开满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：AB=BA。 高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵.。 矩阵可交换的几个充分条件和必要条件定理1下面是可交换矩阵的充分条件： (1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。就是你把对角矩阵对角线上的元素改成一块快小方阵额。我不会打 差不多就是从左上到右下一系列的方块构成）,则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换; (8) 设AB = E ,则A , B 可交换. 定理2(1) 设AB =A +B ,其中,为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +AB = E ,其中m 为正整数,为非零实数,则A , B 可交换. 定理3(1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - kE) B ,则A , B 可交换. 矩阵可交换的几个充要条件 定理4下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B) (2) ( A B) 2 = A 2 2 AB + B2 ; (3) ( AB)= AB; (4) ( AB)= AB 定理5可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是： (AB) = A B . 定理6(1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵; (2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵. 可交换矩阵的一些性质性质1设A , B 可交换,则有: (1) AB = B A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数; (2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; (3) A - B = ( A - B ) ( A + A B +B ) = ( A + A B + + B) ( A - B) (4) ( A + B )m = (矩阵二项式定理) 性质2设A , B 可交换, (1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵; (2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂