广西南宁市高考数学三模试卷 理（含解析）.doc

广西南宁市2015届高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合p=1，0，1，q=x|，则pq=（）a0，1b1c0d1，0，12（5分）若复数+ai（ar）的模为2，则a的值为（）a1b2c1d不存在3（5分）已知变量x、y满足约束条件：，则z=x3y的最小值是（）ab4c4d84（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果s=9，则图中菱形内应该填写的内容是（）an2bn3cn4da35（5分）若方程2x+x=8的根x0（，）kz，则k的值为（）a2b3c4d56（5分）若（2x1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a2+a4=（）a119b120c121d417（5分）已知0，0，点a（，0）和点b（，0）是函数f（x）=sin（x+）的图象的两个相邻的对称中心，则=（）abcd8（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，a4=5，s5=20，则数列的前100项和为（）abcd9（5分）随机变量服从正态分布n（1，2），已知p（0）=0.3，则p（2）等于（）a0.3b0.6c0.7d0.410（5分）已知四棱锥sabcd的所有顶点都在半径为2的球o的球面上，四边形abcd是边长为2的正方形，sc为球o的直径，则此棱锥的体积为（）abcd11（5分）已知f1（c，0），f2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点p满足=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）a，b（0，c，1）d，12（5分）已知a0，函数f（x）=在区间1，4上的最大值等于，则a的值为（）ab1c2d4二、填空题13（5分）已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该双曲线的实轴长等于14（5分）如图，在正四面体sabc（四个面都是等边三角形）中，点d是棱ab的中点，则异面直线sd和bc所成角的余弦值是15（5分）如图，在abc中，|=4，|=2，bac=90，d，e，f分别是边bc，ca，ab上的点且=，=，=，则的值为16（5分）设数列满足a1=3，（2an）an+1=1，则数列an的通项公式是三、解答题17（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，满足a=2sina，（）求边c的大小； （）求abc面积的最大值18（12分）某涉及运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（1）若射击4次，每次击中目标的概率为0.5且相互独立，设表示目标被击中的次数，求的分布列和数字期望e（）；（2）若射击2次均击中目标，a表示事件“两次击中的部分不同”，求事件a发生的概率19（12分）如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=1，abac，m是cc1的中点，n是bc的中点，点p在直线a1b1上，且满足=（1）当=1时，求证：直线pn平面amn；（2）若平面pmn与平面aa1c1c所成的二面角为45，试确定点p的位置20（12分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y2=16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线=1的焦点为顶点（1）求椭圆的标准方程；（2）若e，f是椭圆上关于原点对称的两点，p是椭圆上任意一点，则当直线pe，pf的斜率都存在，并记为kpe、kpf时，kpekpf是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由21（12分）设函数g（x）=x22x+1+mlnx，（mr）（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）在x（，+）上有两个极值点a，b，且ab，记x表示大于x的最小整数，求g（a）g（b）的值请考生在第22,23,24,三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（几何证明选讲选做题）已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc（1）求证：fb=fc；（2）若ab是abc外接圆的直径，eac=120，bc=3，求ad的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的o点为极点，ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线c的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线c交于a，b两点，求|ab|【选修4-5：不等式选讲】24（不等式选做题）对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|xy+1|的最大值广西南宁市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设集合p=1，0，1，q=x|，则pq=（）a0，1b1c0d1，0，1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合q，然后求解交集即可解答：解：集合p=1，0，1，q=x|=x|0x2，则pq=0，1故选：a点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查2（5分）若复数+ai（ar）的模为2，则a的值为（）a1b2c1d不存在考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，利用复数的模求解即可解答：解：复数+ai=+ai=2+（a1）i复数+ai（ar）的模为2，解得a=1故选：a点评：本题考查复数的基本运算，复数的模的求法，考查计算能力3（5分）已知变量x、y满足约束条件：，则z=x3y的最小值是（）ab4c4d8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（2，2），化目标函数z=x3y为，由图可知，当直线过a（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为232=8故选：d点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题4（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果s=9，则图中菱形内应该填写的内容是（）an2bn3cn4da3考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3，s=9时由题意此时应该不满足条件，退出循环输出s的值为9，则结合选项，即可得图中菱形内应该填写的内容解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件，n=2，s=4，a=5满足条件，n=3，s=9，a=7由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s的值为9，则结合选项，图中菱形内应该填写的内容是：n3故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查5（5分）若方程2x+x=8的根x0（，）kz，则k的值为（）a2b3c4d5考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得2x0+x08=0令f（x）=2x+x8=0，由f（2）0，f（3）0，可得x0（2，3）再根据x0（，），kz，可得k的值解答：解：x0为方程2x+x=8的解，2x0+x08=0令f（x）=2x+x8=0，f（2）=20，f（3）=30，x0（2，3）再根据x0（，）kz，可得k=4，故选：c点评：本题主要考查函数零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，属于中档题6（5分）若（2x1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a2+a4=（）a119b120c121d41考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：对（2x1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中的x进行赋值，令x=1以及x=1得到两个关系式，联立相加即可求出所求解答：解：（2x1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1得1=a0+a1+a2+a3+a4，令x=1得81=a0a1+a2a3+a4，将+得2（a0+a2+a4）=82a0+a2+a4=41故选：d点评：本题主要考查了二项式系数的性质，以及二项式展开式的应用，属于基础题7（5分）已知0，0，点a（，0）和点b（，0）是函数f（x）=sin（x+）的图象的两个相邻的对称中心，则=（）abcd考点：正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据正弦函数的周期性求得的值，再根据sin（+）=sin（+）=0，结合所给的选项，可得的值解答：解：由题意可得=，=1，f（x）=sin（x+）再根据sin（+）=sin（+）=0，结合所给的选项，可得=，故选：d点评：本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题8（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，a4=5，s5=20，则数列的前100项和为（）abcd考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得an，再利用“裂项求和”即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，a4=5，s5=20，解得an=2+（n1）=n+1=数列的前100项和s100=+=故选：b点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）随机变量服从正态分布n（1，2），已知p（0）=0.3，则p（2）等于（）a0.3b0.6c0.7d0.4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果解答：解：随机变量服从正态分布n（1，2），曲线关于x=1对称，p（0）=p（2）=0.3，p（2）=10.3=0.7，故选：c点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题10（5分）已知四棱锥sabcd的所有顶点都在半径为2的球o的球面上，四边形abcd是边长为2的正方形，sc为球o的直径，则此棱锥的体积为（）abcd考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意得出空间几何体的直观图，利用圆的几何知识得出rtsbc，rtsdc，rtsac，利用边长根据勾股定理得出abs，ads，为直角三角形，可得sa平面abc，即可求棱锥的体积解答：解：根据题意得出：ac=2，sc=4，ab=bc=dc=da=2根据圆的几何知识得出rtsbc，rtsdc，rtsac，可知sd=sb=2，sa=2，根据勾股定理得出abs，ads，为直角三角形saac，saab，acab=a，sa平面abc，棱锥的体积为=，故选：c点评：本题考查了球的内接几何体的问题，充分利用圆的知识得出直线，平面的位置关系，从而利用公式求解即可11（5分）已知f1（c，0），f2（c，0）为椭圆=1（ab0）的两个焦点，若椭圆上存在点p满足=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）a，b（0，c，1）d，考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（x0，y0），则2c2=，化为又，可得=，利用，利用离心率计算公式即可得出解答：解：设p（x0，y0），则2c2=（cx0，y0）（cx0，y0）=+，化为又，=，b2=a2c2，故选：a点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知a0，函数f（x）=在区间1，4上的最大值等于，则a的值为（）ab1c2d4考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：讨论x2a在区间1，4上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值解答：解：（1）当x2a在区间1，4上恒大于零时，x2a0，a；当x=1时，满足x2a在1，4上恒大于零，即a；此时函数f（x）=1，该函数在定义域1，4上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=，a=1，不满足a的假设，舍去（2）当x2a在区间1，4上恒小于零时，x2a0，a；当x=4时，满足x2a在1，4上恒小于零，即a2；此时函数f（x）=1，该函数在定义域1，4上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=，a=1，不满足a2的假设，舍去（3）由前面讨论知，当a2时，x2a在区间1，4上既有大于零又有小于零时，当x2a时，x2a0，此时函数f（x）=1在1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=；当x2a时，x2a0此时函数f（x）=1在（2a，4时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=；总之，此时函数在区间1，4上先减后增，在端点处取到最大值；当函数在x=1处取最大值时，解得a=1，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=4代入得： f（4）=，f（1）=f（4），满足条件；当函数在x=4处取最大值时，解得a=1，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=，f（1）=f（4）成立a=1故选b点评：本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，注意运用分类讨论方法，是易错题二、填空题13（5分）已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该双曲线的实轴长等于2考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的焦点坐标，抛物线的焦点坐标，然后求解实轴的长解答：解：抛物线y2=8x的焦点（2，0）是双曲线=1的一个焦点，所以c=2，可得a2+2=22，解得a=双曲线的实轴长为：2故答案为：2点评：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查14（5分）如图，在正四面体sabc（四个面都是等边三角形）中，点d是棱ab的中点，则异面直线sd和bc所成角的余弦值是考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：取ac中点e，连接de、se在abc中利用中位线定理得debc，所以sde（或其补角）即为异面直线sd与bc所成的角，设正四面体棱长为a，算出sde中各边之长，再利用余弦定理加以计算可得答案解答：解：取ac中点e，连接de、se，abc中d，e分别为ab、ac的中点，debc，de=bc因此，sde（或其补角）即为异面直线sd与bc所成的角，设正四面体棱长为a，由题意可得sd=se=a，de=a，在sde中，根据余弦定理得cossde=即异面直线ae和bd所成角的余弦值为 ；故答案为：点评：本题在正四面体中求异面直线所成角大小着重考查了正四面体的性质、三角形的中位线定理和异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题15（5分）如图，在abc中，|=4，|=2，bac=90，d，e，f分别是边bc，ca，ab上的点且=，=，=，则的值为考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：以a为坐标原点，ab，ac所在直线为y，x轴，建立直角坐标系，即有a（0，0），b（0，4），c（2，0），设d（a，b），e（c，d），f（e，f），由向量共线的坐标表示，解方程可得d，e，f，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到解答：解：以a为坐标原点，ab，ac所在直线为y，x轴，建立直角坐标系，即有a（0，0），b（0，4），c（2，0），设d（a，b）e（c，d），f（e，f），由=，=，=，则（c2，d0）=（2，0），（e，f）=（0，4），（a，b4）=（2，4），解得d（，3），e（，0），f（0，1），即有=（1，3），=（，2），则=1（）+（3）（2）=故答案为：点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量共线的坐标运算，注意运用坐标法是解题的关键16（5分）设数列满足a1=3，（2an）an+1=1，则数列an的通项公式是an=考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过写出前几项猜测通项公式，然后利用数学归纳法证明即可解答：解：a1=3，（2an）an+1=1，an+1=，a2=1，a3=，a4=，猜想：数列an的通项公式an=下面用数学归纳法证明：当n=1时，显然成立；假设当n=k时，有ak=，（2an）an+1=1，ak+1=，即当n=k+1时也成立，故数列an的通项公式an=点评：本题考查求数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题17（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，满足a=2sina，（）求边c的大小； （）求abc面积的最大值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）已知第二个等式去分母变形后，利用正弦定理化简，求出cosc的值，确定出c的度数，再利用正弦定理即可求出边c的大小； （）由c，cosc的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面积公式即可求出三角形abc面积的最大值解答：解：（）+=0，ccosb+2acosc+bcosc=0，由正弦定理化简得：sinccosb+sinbcosc+2sinacosc=0，即sin（b+c）+2sinacosc=0，整理得：sina+2sinacosc=0，sina0，cosc=，c=，c=； （）c=，cosc=，cosc=，a2+b2+ab=3，a2+b22ab，3ab3，sabc=absinc，则abc面积的最大值为点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）某涉及运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（1）若射击4次，每次击中目标的概率为0.5且相互独立，设表示目标被击中的次数，求的分布列和数字期望e（）；（2）若射击2次均击中目标，a表示事件“两次击中的部分不同”，求事件a发生的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）根据相互独立事件的概率公式分别求出对应变量的概率即可求的分布列和数字期望e（）；（2）设ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，根据独立事件同时发生的概率公式进行求解解答：解：（1）p（=k）=，k=0，1，2，3，4，则p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，则分布列为： 0 1 2 3 4 p=数学期望e（）=0+1+2+3+4=2（2）设ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，则p（a1）=p（b1）=0.1，p（a2）=p（b2）=0.3，p（a3）=p（b3）=0.6，a=a1b2+a1b3+a2b1+a2b3+a3b1+a3b2，p（a）=p（a1b2）+p（a1b3）+p（a2b1）+p（a2b3）+p（a3b1）+p（a3b2）=p（a1）p（b2）+p（a1）p（b3）+p（a2）p（b1）+p（a2）p（b3）+p（a3）p（b1）+p（a3）p（b2）=0.10.3+0. 10.6+0.30.1+0.30.6+0.60.1+0.60.3=0.54点评：本题主要考查随机变量的分布列以及期望，利用相互独立事件的概率公式是解决本题的关键19（12分）如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=1，abac，m是cc1的中点，n是bc的中点，点p在直线a1b1上，且满足=（1）当=1时，求证：直线pn平面amn；（2）若平面pmn与平面aa1c1c所成的二面角为45，试确定点p的位置考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系只要证明=0，=0，即可得出pnan，pnam，即可证明直线pn平面amn；（2）设平面pmn的一个法向量为=（x，y，z），p（，0，1），利用，可取=（3，2+1，22）取平面的一个法向量=（1，0，0），利用平面pmn与平面aa1c1c所成的二面角为45，可得=，解出即可解答：（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系n，p（1，0，1），m=，=+0=0，=0+=0，pnan，pnam，又aman=a，直线pn平面amn；（2）解：设平面pmn的一个法向量为=（x，y，z），p（，0，1），=，=，取=（3，2+1，22）取平面的一个法向量=（1，0，0），平面pmn与平面aa1c1c所成的二面角为45，=，解得=或=1点pb1a1的延长线上，且|a1p|=，或点p与点b1重合点评：本题考查了利用法向量的夹角求空间角、线面垂直的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y2=16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线=1的焦点为顶点（1）求椭圆的标准方程；（2）若e，f是椭圆上关于原点对称的两点，p是椭圆上任意一点，则当直线pe，pf的斜率都存在，并记为kpe、kpf时，kpekpf是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题设条件知抛物线的焦点为（4，0），双曲线的焦点为（5，0），设椭圆的标准方程为+=1，由a=5，c=4，由此能求出椭圆的标准方程；（2）设出点p，e，f的坐标，表示出kpe、kpf，运用点差法，结合斜率公式，即可得到kpekpf为定值解答：解：（1）由抛物线y2=16x的焦点为（4，0），可得c=4，可设椭圆的标准方程为+=1，双曲线=1的焦点（5，0）为顶点，即有a=5，b2=2516=9，故椭圆的标准方程为+=1（2）设e、f是椭圆上关于原点对称点，设e（m，n），则f（m，n），设p点坐标为（x，y），则+=1，+=1两式相减可得，+=0，即为=，又kpe=，kpf=，则kpekpf=，kpekpf为定值，且为点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义与几何性质，以及点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）设函数g（x）=x22x+1+mlnx，（mr）（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）在x（，+）上有两个极值点a，b，且ab，记x表示大于x的最小整数，求g（a）g（b）的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；（2）求出函数y=g（x）的定义域，求得导函数，由m得范围得到g（x）所在不同区间内的符号，从而求得函数的单调区间；（3）由（2）得到函数y=g（x）在x（，+）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x22x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得g（a）（或g（b），则答案可求解答：解：（1）函数y=g（x）=x22x+1+mlnx，k=g（1）=1，则切线方程为y=x1，故所求切线方程为xy1=0；（2）函数y=g（x）的定义域为（0，+），令g（x）=0并结合定义域得2x22x+m0当0，即m时，g（x）0，则函数g（x）的增区间为（0，+）；当0且m0，即0时，函数g（x）的增区间为；当0且m0，即m0时，函数g（x）的增区间为；（3）由（2）得0，a，b为方程2x22x+m=0的两相异正根，又由2b22b+m=0，得m=2b2+2b，g（b）=b22b+1+mlnb=b22b+1+（2b2+2b）lnb，b，当b时，g（b）0，即函数g（b）是上的增函数故g（b）的取值范围是，则g（b）=0同理可求得g（a）的取值范围是，则g（a）=0或g（a）=1g（a）g（b）=0或1点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了方程根个数的判断，体现了数学转化思想方法，考查了计算能力，是压轴题请考生在第22,23,24,三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）（几何证明选讲选做题）已知ad是abc的外角eac的平分线，交bc的延长线于点d，延长da交abc的外接圆于点f，连接fb，fc（1）求证：fb=fc；（2）若ab是abc外接圆的直径，eac=120，bc=3，求ad的长考点：圆