第7.1节差分的基本概念.doc

第二四讲差分的基本概念 微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：差分概念引入、差分的定义 差分的几何意义及经济意义教学目的：理解差分的概念、几何及经济意义教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：对差分的定义及经济意义的理解教学难点：高阶差分计算公式及计算高阶差分教学过程1. 差分概念的引入（引例） 例1 已知某公司1999年前个月的销售额如表1所示： 表.1（月）123456（万元）80516152344324840794905（月）789101112（万元）57276558740282549109939若记该公司在月份的销售额为，则有 具体如表2所示：表.2（月）123456（万元）805815819814831826（月）789101112（万元）822831844852846839 若记该公司在月份相对于其前一月份的月增长额为，则有具体如表3所示： 表.3（月）234567（万元）0509-0517-05-04（月）89101112（万元）091308-06-07例2 假设某家庭开车外出旅行，每小时后记录下的里程表中读出的总的行程数，如表4所示： 表4(小时)0123456(公里)22300223222235422403224522248122513教学心得 若用表示在第小时所行驶的路程，则有具体如表5所示：表.5(小时)123456(公里)2232494929322 差分的定义 对于已知函数，其自变量（通常表示时间）取离散的等间隔的整数值： 称 为函数在时刻的一阶差分(first-order difference)，记作,即 依此定义有 称一阶差分的一阶差分为函数在时刻的二阶差分(second-order difference)，记作,即依二阶差分的定义有 注：二阶差分中的上标表示差分运算重复了两次，即差分算子使用了两次。 依此类推，计算二阶差分的一阶差分，便可得到三阶差分(third-order difference)，记作，即 教学札记教学心得 同样可以定义四阶差分、五阶差分， 更一般地，函数在时刻的阶差分(kth-order difference)（为整数）定义为其阶差分的一阶差分，即 其中。 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分(higer difference)。 说明，若函数中自变量的个数多于一个时，与定义偏导数相类似可定义多元函数的偏差分(partial difference).3 差分的几何意义及经济意义差分的几何意义：由差分的定义知：函数在时刻的一阶差分 图1图2其几何意义表示函数上的点与点所在的直线的斜率（见图1）。 差分的经济意义：设消费者在一定时间内消费某种商品个单位时所产生的总的效用为。当消费商品量由个单位变为个单位时，总效用的增加量为 表示该商品消费量为个单位时的边际效用，即总效用的一阶差分的经济意义为：当消费量为个单位时，再多消费一个单位的商品所产生的效用的增加，亦即消费第个单位的商品所产生的效用。（如图2所示）4 差分的性质及运算法则 性质1：（为常数） 性质2：更一般地有： 性