初二数学勾股定理初二数学勾股定理测试初二数学勾股定理.doc

勾股定理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：所以方法三：，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：二、典型例题题型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的长已知，求的长分析：直接应用勾股定理解：题型二：应用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解解：，设两直角边的长分别为，设两直角边分别为，则，可得例.如图中，求的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作于，在中在中，例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了分析：根据题意建立数学模型，如图，过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得答案：题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为，判定是否为，解：，是直角三角形且，不是直角三角形例7.三边长为，满足，的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知中，边上的中线，求证：证明： 为中线，在中，三、练习1如图，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?2如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8_，第n个正方形的面积Sn_ 3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长4如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，BPQ的面积为多少？5如图所示，在四边形ABCD中，已知：2：2：3：1，且B90，求的度数6如图，ABC中，AB=15 cm， AC=24 cm，A=60求BC的长四、练习1已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为_图12三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_3ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=_4将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中（如图1），设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是_ 5如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了_米图2图3二、选择题（每小题5分，共25分）：6在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） Aa=9 b=41 c=40 Ba=b=5 C=5Ca:b:c=3:4:5 Da=11 b=12 c=15 7若ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ）A14 B4 C14或4 D以上都不对8 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）图4A13 B19 C25 D169图59 如图5，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=900，则四边形ABCD的面积是（ ）A84 B30 C D无法确定图610如图6，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，B C/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）A3 B4 C5 D611（7分）在中，C=900（1）已知，求a； （2）已知，求b、c12（7分）阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足，试判定ABC的形状解： ， ， ， ABC为直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号_；（2）错误的原因是_；（3）本题正确的结论是_图713（7分）细心观察图7，认真分析各式，然后解答问题： （1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长；（3）求出的值14（7分）已知直角三角形的周长是，斜边长2，求它的面积15（7分）小东拿着一根长竹杆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果杆比城门高1米，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问杆长多少米？16（7分）小明向西南方向走40米后，又走了50米，再走30米回到原地小明又走了50米后向哪个方向走的？再画出