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数学归纳法 天马行空官方博客 归纳法由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法 数学归纳法 1 先证取第一个值n0时结论成立 两者缺一不可 1 是递推的基础 2 是递推的依据 3 总结1 2 两步 下结论 天马行空官方博客 例1 1 用数学归纳法证 D n 2 n N 过程中 由 n k 变到 n k 1 时 不等式左边的变化是 例1 2 用数学归纳法证 n 2 n N 过程中 由 n k 变到 n k 1 时 左式所需添加的项为 项 项 项 项 例 用数学归纳法证明 n N 1 2 22 2n 1 2n 1 证 1 当n 1时 左 1 右 等式成立 2 假设n k时等式成立 即 1 2 22 2k 1 2k 1 则当n k 时 1 2 22 2k 1 2 k 1 1 2k 1 2k 2 2k 1 2k 1 1 即 n k 1时 等式也成立 由1 2 可知 当n N 时等式都成立 例 求证an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 其中a 0 且a 1 证明 1 当n 1时 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1能被a2 a 1整除 即n 1时 命题成立 2 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 故ak 2 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 由 1 2 可知 命题对任n N均成立 注意 关键是通过 添项减项 将原有形式转化为便于利用归纳假设的形式 这是利用数学归纳法证明题 特别是证整除问题的常用技巧 例5是否存在常数a b
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