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文档简介

一、 求解下面问题（本题满分50分）1) 设，求在点沿方向的方向导数.解： 2) 判断积分的敛散性，并证明。解：是瑕点又收敛收敛3) 设，求在点处的梯度解：4) 将函数在展开为傅立叶级。解：5) 求极限。解：设 6) 求曲面在点的切平面方程。解：令，则，则，所以该曲面在给定点处的切平面方程为，即。7) 求函数的极值。解：由得又因此最小值为8) 设，求。解：9) 设方程组确定与是的函数求。解：10) 设 ，其中都具有二阶连续偏导数，求。解：，二、（本题10分）解：特征方程，特征根为，对应齐次方程通解为。-3分因为是单根，设特解，-5分代入方程得则。-8分于是，原方程通解为。-10分三、 （本题满分10分） 确定函数的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。解：（1）定义域求解：令，则当时，此时原函数项级数不收敛，当时，对每个固定的，关于单调递减且趋于0，由Leibniz判别法知原函数项级数收敛到，综上所述，的定义域为；-4分（2）连续性证明：令，则，则，在上，1、 级数的部分和显然在上一致有界；2、对每个固定的都是单调数列，且显然有在上一致收敛于0，由Dirichlet判别法，有在上一致收敛，而每一项都连续，根据连续性定理，在上连续，特别在处连续，由的任意性，从而在上连续. -7分（3）可微性证明：，在上，很显然在上连续，在上收敛，下证在上一致收敛： 满足1、部分和在上一致有界；2、时，对于每个固定的都单调，且在上一致收敛于0；由Dirichlet判别法，知在上一致收敛，由逐项求导与和函数连续定理，有在上连续，特别在处连续，由的任意性，有在上连续可微，所以当然是可微的. -10分四、 （本题满分10分）设函数，（1） 讨论在点（0，0）的连续性；（2） 求函数在点（0，0）的偏导数；（3） 讨论函数在点（0，0）可微性。解：（1） -3分（2）-6分（3）-10分五、 （本题满分10分）讨论积分，的敛散性（指出条件收敛或绝对收敛）。解：当因为，又收敛，所以绝对收敛；-3分当，又单调递减趋于零，由Dirichlet判别法可得收敛。-6分但不绝对收敛，因为，而发散，收敛（Dirichlet判别法），所以发散，所以，当条件收敛。-10分六、（本题满分10分）求幂级数的收敛域与和函数，并求级数的和。解： , , 当时，发散， 同理x=-1时，发散， 故收敛域为 -3分 -8分-10分七、附加题（本题10分）设在有界开区域内有二阶偏导数，在上连续。（1）若在点取极小值，证明。（2）若对都有，证明的最小值只能在的边界上达到。解：（1）若在内有二阶导数，且在处取得极小值，则。考察，则由在点取极小值推出即即 -6分（2） 若的最小值在D的
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