3.4_基本不等式_.ppt

2020年2月14日星期五 让理想的雄鹰展翅高飞 基本不等式 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 S S 问 那么它们有相等的情况吗 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 A B C D E FGH a b 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 结论 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b R 问题一 问题一 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 问题二 还可以变形为 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 问题二 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 还可以变形为 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 几何意义 半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 1 把36写成两个正数的积 当这两个正数取什么值时 它们的和最小 2 把18写成两个正数的和 当这两个正数取什么值时 它们的积最大 ab 36 当a b 6时 和a b最小为12 a b 18 当a b 9时 积ab最大为81 是解决最大 小 值问题的有力工具 应用练习 4 例题讲解 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 各项皆为正数 和或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 利用基本不等式求最值时 要注意 基本不等式主要作用是什么 求最值 强调 求最值时要考虑不等式是否能取到 分析 x 1 2x 不是常数 2 1为 当且仅当时 取 号 若0 x 求函数y x 1 2x 的最大值 B A 2 已知则xy的最大值是 1 当x 0时 的最小值为 此时x 2 1 3 若实数 且 则的最小值是 A 10B C D D 4 在下列函数中 最小值为2的是 A B C D C 1 设且a b 3 求 a b的最小值 3 若 则函数的最小值是 2 求函数f x x2 4 x2 0 x 2 的最大值是多少 作业 写出过程 错解 即的最小值为 过程中两次运用了均值不等式中取 号过渡 而这两次取 号的条件是不同的 故结果错 错因 解 当且仅当 即 时取 号 即此时 正确解答 高考欣赏 D 略解 4 6 A 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 设AB x BC 24 2x 矩形花园的面积为x 24 2x m2 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 当x 6时 函数y取得最小值为72 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xym2 A B D C 得144 2xy 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 即xy 72 即x 12 y 6 x 2y 24 x 2y 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设BC x CD y 则篱笆的长为 矩形花园的面积为xym2 A B D C x y不是定值 2 24为 得2xy 144 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 即xy 72 即x 12 y 6 x 2y 24 x 2y 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 分析 设AB x BC 24 2x A B D C 变式 如图 用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园 问这个矩形的长 宽各为多少时 花园的面积最大 最大面积是多少 解 设AB x BC 24 2x 矩形花园的面积为x 24 2x m2 当且仅当2x 24 2x 即x 6时 等号成立 因此 这个矩形的长为12m 宽为6m时 花园面积最大 最大面积是72m2 其中2x 24 2x 24是定值 某种生产设备购买时费用为10万元 每年的设备管理费共计9千元 这种生产设备的维修费各年为 第一年2千元 第二年4千元 第三年6千元 依每年2千元的增量递增 问这种生产设备最多使用多少年报废最合算 即使用多少年的平均费用最少 解 设使用x年报废最合算 A地产汽油 B地需要汽油 运输工具沿直线AB从A地到B地运油 往返AB一趟所需的油耗太大 如果在线段AB之间的某地C 不与A B重合 建一油库可选作中转站 即可由这种运输工具先将油从A地运到C地 然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地 设 x 往返A C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的 往返C B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量的 不计装卸中的损耗 定义 运油率P 请判断是否选址C为AB中点时从A地经过C中转再运油到B地的运油率最大 解 该题考查函数的应用问题 解决问题的关键是 情景 和 数式 间的相互转化 再结合数学结果解释实质问题即可 要关注解题过程中 均值不等式 的巧妙应用 设从A地运出的油量为a 则C地收到的油量为 B地收到的油量为故运油率 当且仅当即x 时 取 又 当C地为AB中点时 运油率P最大 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图3 5 2中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使广告面积最小 分析 根据题意合理建立关系 转化为数学问题是关键 图3