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浅谈变式在初中数学教学中的应用常州市花园中学 数学组 殷爱梅摘要本文首先介绍了变式与变式教学的含义，指出运用变式教学模式进行教学应遵循的四个原则。然后笔者在实践的基础上介绍了变式在数学例题、习题中的应用，并给出了变式教学设计应注意的四个问题。关键词 变式教学原则 例题 习题 变式教学一、变式和变式教学心理学中变式是指从不同角度和方面组织感性材料，使非本质要素变异，突出事物本质特征的方法，它可以帮助学生更准确地掌握概念。数学中的变式是指相对于某种范式(即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等)的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断变化以揭示其本质属性的过程。运用变式时，必须充分发挥变式的积极作用，突出那些隐蔽但又恰恰是本质属性的特征。例如“垂线”在日常概念中总是下垂的，总是由上而下的，因此，学生在接受“自直线外一点向直线作垂线”时，就误解为点总在上方，线在下方，似乎作“垂线”时，点在下方是不可能的。为了形成“垂线”的正确概念，不仅要用“ ”说明，而且要用“ ” 、“ ”等多种变式图形说明。通过变式方式进行技能和思维的训练叫做变式训练；在教学过程的不同环节中，采用变式的方式来达到一定教学目的的教学叫做变式教学。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。当然变式不应是无休止的，而应选择适当的、典型的方式进行，如讲“角”的概念时，只须列举直角、钝角、锐角、平角、周角即可。此外“对比”也是变式的一种有效方式。例如，平行四边形的典型图式指的是两较长平行对边呈水平状态时的图形，而变式指的是以此图形为基础，旋转任何一个角度所得的图形。显然，如果学习者只熟悉平行四边形的典型图示，而不熟悉其他各种变式，那么说明学生没有真正认识平行四边形的本质属性。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程，变式教学就是不断变化知识的非本质属性，促进学生不断研究、探索进而掌握知识的本质属性，有利于培养学生研究、探索问题的能力，是“三基”教学(数学基本概念、数学基本技能、数学基本思想)、思维训练和能力培养的重要途径。二、变式教学的教学原则课堂教学原则的确定，对于正确运用变式教学模式教学，掌握模式的精髓具有重要意义，运用变式教学模式进行教学，除应遵循一般的教学原则外，还必须贯彻以下几条重要原则:1、目标导向原则数学教学是师生围绕既定目标而进行的双向活动。因此，教师首先要根据教学内容和学生实际制定出具体明确、切实可行的教学目标，然后，在课堂教学过程中，采用变式教学模式，学生在教师启发、引导下完成既定的教学目标，做到教师为目标而教，学生为目标而学，教学目标是教学活动的出发点和归宿。2、启迪思维原则数学教学是思维活动的教学，学生思维的积极性和主动性依赖于教师的循循善诱、精心启发，运用变式教学模式教学，教师必须精心设计问题情境，“把问题作为教学的出发点”，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”，引导学生逐步发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，通过创设思维情境，设置思维障碍，添设思维阶梯等手段激发学生的好奇心，唤起学生的求知欲。3、暴露过程原则数学教学是数学思维活动过程的教学，让学生看到思维过程，主动参与知识的发现，是提高学生学习积极性和发展其数学能力的有效措施。运用变式教学模式教学，应特别强调暴露数学思维过程，讲解概念要求构建情境，提供素材，揭示概念的形成过程；讲解定理(公式)要求模拟定理(公式)的发现过程；例题、习题的教学要求探索变式，拓广成果，对解题思路进行内化、深化探索，总结升华，也就是说，应注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，从而发展他们的能力。4、主体参与原则高质量的教学需要依赖于智力因素和非智力因素的共同作用，而主体参与是它们二者和谐互动的有效机制。只有当学生具有良好的学习动机，认知和情感都融入教学而实现自觉、自主的学习时，才能达到最优的教学效果。因此，主体参与有助于提高教学质量，可以使课堂充满活力，可以使学生真正成为学习的主人.运用变式教学模式教学，特别强调学生的主体地位与主动参与，注重让学生自己动脑、动口、动手，让他们主动地获取知识，在实践中去观察、探索、发现问题和解决问题。三、变式在例题、习题中的应用1、变式在例题、习题中的应用形式例题、习题变式主要包括一题多解(证)变式、一题多变变式，多题一解(一法多用)变式和一题多用变式(1)所谓一题多解(证)变式，就是对同一个数学问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能地提出不同的解题构想和方法，从而达到培养发散思维和创新意识，总结规律、方法，提高数学能力的目的。一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师积极引导学生从各种途径，用多种方法去思考问题。有些问题多种方法求解，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，对发展学生的创造性思维，起着铺路架桥的作用。例如:求证“等腰三角形两腰上的高相等”这是一道文字证明题，引导学生转化成用几何符号表达的几何证明题。EDABCO证法1：证ABDACE证法2：证EBCDCB证法3：利用ABC的面积的求法.由AB=AC，得到CE=BD以上各种证法，沟通了不同知识间的内在联系，达到了深化知识，融会贯通的目的。这样的例子很多，尤其是几何证明题中，许多证明题都有多种证法。当然，列出各种证法后，教师还应要求学生筛选出最佳方法，这也是多向思维的最终目的，以达到经济思维的目的。通过引导学生对同一来源材料，从不同角度、不同方位思考问题，寻求某类问题的解题规律或一题多解，从而拓广了思路，使思维辐射展开，培养了思维的发散性，这不仅能强化学生对基础知识的理解和掌握，而且对开发智力，启迪学生的创造欲望也大有裨益。当然一题多解变式在代数中也常用到，例如：解三元一次方程组可采用代入法或加减法先消x或先消Y或先消z，也可用三个方程的和的一半分别与三个方程相减，从而可总结出十种解法。(2)所谓一题多变变式，就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化等多角度、多方位的探讨，使一个题变为一类题，达到举一反三、触类旁通的目的，进而培养学生的良好思维品质及探索、创新能力。一题多变是题目结构的变式，变换题目的条件或理论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的实质，用这种方式教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，寻找解决问题的方法，从而防止思维的呆板和僵化，培养思维的灵活性。例如上例中证出结论后，教师可追问：在此条件下，还可得到哪些线段相等?连结AO，又能得到哪些角相等?又如将某一问题的条件和结论变换成更一般的形式，让学生把研究对象或问题扩展到更大范围进行考察，进而开阔学生的视野，培养学生良好的思维品质和创造力。例如：计算：解：原式变式1：计算：变式2：计算：变式3：计算：对一个命题的推广有多种途径可循，一般将条件进行相似变换，即在元素的数量上进行推广。几何中常表现为线段或边数(角数)的增加；代数中常表现为变量个数的递增，或常量向变量的转换。命题推广的一个很大特点就是体现思维的发散性和深刻性，这正是培养创造性思维的核心所在。一题多变变式中，图形变式在几何教学中经常遇到，图形变式就是以基本图形为“生长点”，通过将其引申变换为相关图形而得到变式题组，从而培养学生对几何图形的想像能力、变换能力及思维的灵活性和多向性。(3)多题一解(一法多用)变式：数学中有许多不同的分支，同一分支内又常被划分为若干个单元。不同分支之间或同一分支的不同单元之间，常常会出现许多内容上的相互转换与渗透，据此，我们可以将某一单元的题目改变表达形式而变为另一单元的题目，但题目本质不变，解答方法相同。另外，通过互为逆否命题转换而得到等价命题，不同题型之间的转换，如选择题转换为填空题，解答题变为证明题、探索开放题等，都属于多题一解的范围。题型变式有助于学生透彻理解题目的本质属性，开阔解题思路，提高解题能力。(4)一题多用变式，就是以教材中基本例题、习题为目标，探讨该习题及其变通形式的应用，挖掘基本习题的解题功能，从而提高学生解题能力。一题多用的教学设计，实际上是对基本例题、习题教学后的一个反思过程总结、探索、推广和引申。经常进行这种训练，无疑可以启迪学生思维，培养学生的创新意识，提高其解决问题的能力。需要说明的是，例题、习题的多种变式形式，不是彼此孤立的，而是相互交叉渗透的，在同一个题目的变式中，常常是各种变式相伴而行。因此，在平时实施的变式教学中，要注意各种变式的交互运用。如第一例中，除了证法变式外，还可进行条件变式：如求证等腰三角形两腰上的中线相等，或求证等腰三角形两底角的平分线相等。也可进行结论变式、逆向变式、图形变式。2、例题、习题课的变式教学程序（1）精选范例范例来源可以是课本中的例题或习题，也可以是其它题目，选取的范例应具有针对性、基础性、灵活性和可变性。即对所学知识的训练有针对性；能用基本知识、基本方法加以解决；解法灵活多变；可以进行题目变式，联题成片。（2）解法变式通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生思维的广阔性和灵活性。在解法变式环节中，教师活动体现在：(1)引导点拨。当学生探索解法遇到困难时，及时给予启发、诱导、点拨。(2)评价鼓励。对学生探索得到的求解思路或方法，给予及时的鼓励性评价，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲。学生活动体现在：(1)自主探索解法，求得问题解决。(2)求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法。(3)相互交流，相互启发，扩大探索成果。(4)自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能。（3）方法应用总结范例的解题规律、方法，并把它运用到其它题目的解决过程，使解题方法得到迁移，形成技能技巧。在方法应用环节，教师活动体现在：(1)设计方法训练变式题组或引导学生通过对范例的变式而得到方法训练题组。(2)引导学生运用解决范例的方法解答变式训练题组，并对学生给予引导和点拨。学生活动体现在：自主解答变式训练题组，使方法得以迁移，形成技能技巧，提高解题能力。（4）题目变式通过师生对范例的共同探索(包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓展等)，获得题目的一类或几类变式，从而培养、锻炼学生的探索创新能力。在探索变式环节中，教师活动体现在：(1)诱导启发，激发学生的探索创新欲望。(2)适时引导、点拨，指引学生的探索方向。(3)及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气。学生活动体现在：(1)在教师的引导下，独立探索，挖掘题目变式。(2)小组相互探讨，通过相互交流，相互启发，点燃创新思维的火花。(3)人人参与，自由发言，充分体会成功感。（5）问题解决对范例变式得到的数学问题，难易程度不同，应采取灵活多样的解决方式，如课上详解、略解，课下练习、书面作业，课下思考讨论等。在问题解决环节中，教师活动体现在：(1)对变式题的分类处理，确定哪些题目课上解决，哪些题目课下思考。(2)引导点拨，适时启发。引导学生的解题方向，点拨可面向全体，也可面向个体，注意因材施教。(3)适时作鼓励性评价。学生活动体现在：(1)自主探索，按教师要求，探求规定题目的求解策略与方法。(2)相互探讨，对不能自主解决的问题，同学之间、师生之间相互探讨。(3)注意解题规律、方法的积累与总结。（6）总结升华师生共同完成总结。一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法，并逐步使之成为学生的自觉行为。3、例题、习题变式设计应注意的问题前面，我们分类说明了数学例题、习题变式的方法，但应当指出，数学例题、习题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用理解形成技能培养能力”的认知过程。G波利亚在怎样解题中建议“你是否知道与此有关的题目，是否知道可能用得上的定理?这是一个与你的题目有关且己被解答的题目，你能用它吗?能用它的结果吗?能用它的方法吗?你能不能把这一结果或方法用于别的题目?这可以作为我们进行变式的目的。数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，设计数学习题变式，应注意以下几个问题：1.差异性。设计数学习题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。2.层次性。所设计的数学习题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎、既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力.