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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第13讲)从三角形内角和谈起第十三讲 从三角形内角和谈起三角形的内角和等于180(也称一个平角)是三角形的一个基本性质从它出发可引出下面两个事实： (1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和如图135所示延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角如图135中的1，2，3，4，5，6由于1+ABC=180(平角)，又BAC+BCA+ABC=180，所以1=BAC+BCA同法可证3=BAC+ABC，5=ABC+ACB(2)n边形的内角和等于(n-2)180如图136所示以n边形A1A2An的某一个顶点(如A1)为共同顶点，将这个n边形“分割成” n-2个三角形A1A2A3，A1A3A4， A1An-1An由于每一个三角形的内角和等于180，所以，这n-2个三角形的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)180(详证见后面例 6)三角形内角和等于180这个事实有着广泛的应用例1 如图137所示平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形求：A+B+C+D+E+F说明 依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质的前提例2 求如图138所示图形中A+B+C+D+E的大小例3 如图140所示在ABC中，B的平分线与C的外角平分线交于D，且D=30求A的度数说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了ABC与BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提例4 如图1-41所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度数 例5 如图142所示ABC的边BA延长线与外角ACE的平分线交于D求证：BACB由于多边形可以分割为若干个三角形，因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算下面我们来求n(n3的自然数)边形的内角和例6 n边形的内角和等于(n-2)180说明(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路如本题从n=4，5入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到n为任意自然数的范围中去(2)各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为正多边形由本例自然可以推出正n边形每一个内角的大小设正n边形的一个内角大小为，则n边形的内角和=，所以例如正五边形的内角的度数为正十边形的内角度数为练习十三1如图146所示A+B+C+D+E的大小2如图 147所示求 A+B+C+D+E的大小3如图148所示求A+B+C+D+E+F的大小4如图1-49所示求a+B+C+D+E+F+G的大小5如图150所示ABC中，AE是A的平分线，CDAE于D求证：ACDB6若多边形内角和分别为
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